Случайные величины: основы: вопросы для собеседования (часть 4)
Что такое случайная величина, дискретная vs непрерывная, PMF, PDF, CDF — базовые понятия, без которых невозможно говорить о распределениях и статистике. На собеседовании спрашивают, чем PDF отличается от PMF, как найти вероятность через CDF и что значит «распределение случайной величины».
Вопросы 16–20 из 20
16Что наиболее точно описывает `PDF` для непрерывной случайной величины X (например, время ожидания)?
A`PDF` возвращает `P(X=x)` для каждого `x`: для непрерывной величины это и есть точечная вероятность по определению
B`PDF` это функция, для которой `P(a<X<=b)` равна площади под `PDF` на интервале `(a, b)`, а точечные вероятности равны 0
C`PDF` это то же самое, что `PMF`: только обозначения другой буквой и для распределений с большим числом значений
D`PDF` совпадает с `CDF` по форме графика: обе описывают одно и то же распределение в одной и той же шкале
Ответ: `PDF` описывает плотность, а вероятности для непрерывной случайной величины получаются как площадь на интервалах.
Для непрерывной величины точечные вероятности вроде `P(X=1)` равны 0, поэтому `PDF` нельзя читать как вероятность в точке. Смысл `PDF` в том, что она показывает, где распределение более концентрировано, и позволяет получать `P(a<X<=b)` как площадь. Накопленная вероятность задаётся через `CDF`, которую можно интерпретировать как площадь слева от порога.
Подробный разбор → 17Для дискретной случайной величины X как интерпретировать скачок `CDF` в точке x0?
AРазмер скачка показывает накопленную вероятность `P(X<=x0)` слева от точки x0 и совпадает со значением `CDF` в этой точке.
BРазмер скачка равен значению плотности `PDF(x0)` в точке x0 и интерпретируется так же, как для непрерывной случайной величины.
CСкачки `CDF` бывают только у непрерывных случайных величин, а у дискретных функция распределения остаётся всюду гладкой.
DРазмер скачка равен `P(X=x0)` и совпадает с массой из `PMF` в x0, отражая точечную вероятность дискретной величины.
Ответ: Для дискретной X скачки `CDF` равны точечным вероятностям `P(X=x)` из `PMF`.
`CDF` накапливает вероятность, поэтому когда X может принять конкретное значение x0 с ненулевой вероятностью, `CDF` делает скачок. Величина скачка — это `P(X=x0)`, то есть масса в точке, которая задаётся `PMF`. Это помогает отличать дискретный случай от непрерывного, где вероятность задаётся через `PDF` и скачков обычно нет.
Подробный разбор → 18Вы построили `CDF` для случайной величины X и увидели заметные скачки. Какое объяснение наиболее корректно?
AЭто значит, что X является непрерывной случайной величиной, а скачки на графике вызваны только округлением выводимых значений
BЭто означает нулевую плотность распределения по всей оси, поэтому весь график должен сводиться к горизонтальной прямой
CСкачки в `CDF` указывают, что у X есть значения с ненулевым `P(X=x)`, то есть это дискретная или смешанная модель
DСкачки в `CDF` для случайных величин невозможны как класс, поэтому график построен с технической ошибкой инструментом
Ответ: Скачки `CDF` соответствуют ненулевым точечным вероятностям `P(X=x)` у дискретной или смешанной величины.
Если X принимает некоторые значения с ненулевой вероятностью, `CDF` делает скачок на величину этой вероятности. Это типично для дискретных величин и возможно в смешанных моделях, где есть и непрерывная часть, и точечная масса. Для чисто непрерывной модели `CDF` непрерывна, и для всех a выполняется `P(X=a)=0`. Поэтому скачки — сигнал проверить тип данных и определение X, а не ошибка построения графика.
Подробный разбор → 19Как наиболее правильно описать связь между `PDF` и `CDF` для непрерывной случайной величины X?
A`CDF(x)` совпадает со значением `PDF(x)` в той же точке, разделённой на длину интервала вокруг `x` для нормировки
B`PDF` равна `P(X<=x)` и накапливает вероятность по мере роста `x` от минус бесконечности к плюс бесконечности
C`PDF` задаёт `P(X=a)` напрямую, поэтому для непрерывной `X` справедливо равенство `P(X=a) = PDF(a)` в точке `a`
D`CDF` в точке `x` равна накопленной площади под `PDF` слева от `x`, то есть `F(x) = P(X<=x)` по определению
Ответ: `CDF` — это накопленная вероятность, которую можно интерпретировать как площадь под `PDF` слева от порога.
Для непрерывной X `PDF` описывает, как распределена вероятность по оси значений, а `CDF` показывает, какая доля уже накопилась до x. Поэтому `P(a<X<=b)` можно получать как площадь под `PDF` на интервале или как разность значений `CDF`. Ошибка новичка — подставлять `PDF(a)` вместо `P(X=a)`, хотя для непрерывного случая `P(X=a)=0`. Для задач с порогами и процентилями обычно удобнее работать через `CDF`.
Подробный разбор → 20Какое утверждение правильно различает `PMF` и `PDF`?
A`PMF` и `PDF` обозначают одно и то же: разница лишь в принятой записи в разных учебниках
B`CDF` определена только для дискретной величины и неприменима к непрерывному случаю
C`PMF` задаёт точечную `P(X=x)` для дискретной X, для непрерывной X нужна плотность `PDF`
D`PDF` применима только к симметричным распределениям, а `PMF` только к асимметричным
Ответ: `PMF` работает с точечными вероятностями дискретной X, а `PDF` — с площадями (интегралами) для непрерывной X.
Для дискретной X отдельное значение может иметь ненулевую вероятность, поэтому `P(X=2)` берётся напрямую из `PMF`. Для непрерывной X точечная вероятность равна нулю, и используют `PDF` или `CDF` для интервалов. Смешение этих понятий приводит к типичной ошибке: читать `PDF(x)` как `P(X=x)`. Поэтому всегда уточняйте, дискретная у вас X или непрерывная.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей