Есть два независимых теста, у каждого ненулевая ложноположительная ошибка и заметная вероятность плюса при болезни. Если оба показали плюс, как обычно изменится апостериорная вероятность болезни по сравнению с одним плюсом?
Теорема Байеса — одна из самых популярных тем на собеседовании, потому что проверяет интуицию о вероятности. Классические задачи: болезнь и тест, спам-фильтр, обновление вероятности при новых данных. Интервьюеры ценят умение рассуждать пошагово и не путать P(A|B) с P(B|A).
Всего в этом разделе 20 вопросов. Каждый — с правильным ответом и кратким разбором теории. Разбито на 4 части по 5 вопросов.
1Пусть A — мошенничество, B — сработал алерт. Что в этой постановке означает ложная тревога (false positive)?
AB произошло, A не произошло
BA произошло, B не произошло
CB произошло и A произошло
DB не произошло и A не произошло
Ответ: Ложная тревога (false positive) — это срабатывание на отсутствие события: B при отсутствии A.
В контексте алертов ложная тревога — это срабатывание системы при отсутствии события. На уровне вероятностей это связано с `P(B|not A)`, которое называют долей ложных срабатываний. При низкой базовой частоте мошенничества даже небольшая доля ложных срабатываний может давать много ложных тревог в абсолюте. Пропуск мошенничества (A без B) — это уже ложноотрицательный исход, а не ложноположительный.
2Пусть событие A — у пациента есть болезнь, а событие B — тест дал положительный результат. Что соответствует ложноотрицательному результату теста?
AB произошло, A не произошло
BB не произошло, A произошло
CB произошло и A произошло
DB не произошло и A не произошло
Ответ: Ложноотрицательный результат — это пропуск события: не B при A.
В медицине это значит: тест отрицательный, хотя болезнь есть. В системах оповещений — событие произошло, но сигнал не сработал. При анализе важно учитывать `P(не B | A)`, иначе можно ошибочно считать, что отрицательный результат теста почти полностью обнуляет апостериорную вероятность болезни.
3Аналитик хочет ответить на вопрос: среди пользователей, которые получили пуш (событие B), какая доля совершила покупку (событие A). Какая вероятность соответствует этому вопросу?
A`P(B|A)`
B`P(B)`
C`P(A|B)`
D`P(A)`
Ответ: Вопрос «какова доля A среди тех, у кого выполнено B» соответствует `P(A|B)`.
Если B — условие отбора (пользователь получил пуш), то нас интересует вероятность A внутри этой группы. Это именно `P(A|B)`, а не `P(B|A)`, которое отвечает на обратный вопрос: как часто пуш встречается среди тех, кто купил. Подмена направления часто приводит к неверной интерпретации качества сегмента или кампании.
4Пусть `P(B|A)` и `P(B|not A)` фиксированы. Как изменится апостериорная вероятность `P(A|B)`, если базовая частота `P(A)` вырастет (событие A станет встречаться чаще)?
AОбязательно уменьшится, потому что апостериорная вероятность делится на знаменатель `P(B)`
BОстанется прежней, потому что качество сигнала B не зависит от того, как часто встречается A
CУвеличится, потому что при росте `P(A)` среди объектов с признаком B доля настоящих A выше
DСтанет равной `P(B|A)` независимо от данных, поскольку сигнал B полностью определяет ответ
Ответ: При фиксированных `P(B|A)` и `P(B|not A)` рост базовой частоты `P(A)` увеличивает апостериорную `P(A|B)`.
Когда A становится более частым, среди всех срабатываний сигнала B доля истинных растёт. В формуле Байеса это видно через множитель `P(A)` в числителе и его же вклад в знаменатель `P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|not A)(1−P(A))`. Один и тот же сигнал B несёт разную информацию в редкой и частой популяциях: чем чаще A, тем выше `P(A|B)`. Поэтому апостериорная вероятность не зависит только от качества сигнала — базовая частота критична.
5В формуле Байеса `P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)` вы хотите подставить значение `P(A)` для расчёта апостериорной вероятности. Какую именно величину нужно взять за `P(A)`?
AАпостериорную вероятность события A после наблюдения B, то есть результат самого применения формулы Байеса
BПолную вероятность наблюдения B, рассчитанную по всем возможным значениям A в знаменателе формулы
CДолю ложноположительных срабатываний для наблюдения B, не зависящую от исходной вероятности события A
DИсходную (априорную) вероятность события A до учёта наблюдения B, отражающую базовую частоту в популяции
Ответ: Априорная вероятность `P(A)` — это исходная вероятность события до учёта наблюдения и ключевая часть обновления по Байесу.
В задачах диагностики априорная вероятность часто совпадает с базовой частотой в популяции или с оценкой риска для конкретного сегмента. При одинаковом `P(B|A)` разные априорные вероятности дают разные апостериорные. Игнорирование априорной вероятности — одна из главных причин, почему интуиция ошибается в задачах с формулой Байеса. Апостериорная вероятность, полная вероятность `P(B)` и доля ложноположительных срабатываний — это другие величины, играющие свои роли в формуле.