Вопросы по теме «Независимость событий»

При независимости событий вероятность совместного наступления равна произведению маргинальных вероятностей: `P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0.4·0.5 = 0.2`. Сумма, среднее или разность вероятностей — это другие операции, и они не дают вероятность пересечения. Если бы события были несовместными, то `P(A∩B) = 0`, а формула произведения не работала бы.

Здесь `P(A∩B)=0`, потому что в одном броске не может одновременно быть орёл и решка. Для независимости нужно, чтобы выполнялось `P(A∩B)=P(A)P(B)`, но `P(A)P(B)>0` при `P(A)>0` и `P(B)>0`. Поэтому события несовместимы и заведомо зависимы — знание одного исхода полностью определяет другой.

Определение независимости при `P(B) > 0` эквивалентно равенству `P(A | B) = P(A)`. Интуитивно это означает, что знание о наступлении B не несёт информации об A. Поэтому `P(A | B) = 0.3`, и значение `P(B)` для ответа не нужно — оно влияет только на совместную вероятность `P(A и B)`.

На первом кубике чётное выпадает с вероятностью `P(A)=3/6=1/2`. На втором кубике число больше 4 — это 5 или 6, значит `P(B)=2/6=1/3`. Броски независимы, поэтому `P(A∩B)=(1/2)·(1/3)=1/6`.

Общая формула объединения: `P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)`. Если события несовместны, то `P(A ∩ B) = 0`, и вычитаемая часть исчезает, оставляя простую сумму вероятностей. Если же события могут пересекаться, простое сложение завышает вероятность объединения, потому что общая часть учитывается дважды. Независимость и равенство безусловных вероятностей это условие в общем случае не обеспечивают.