Бросают один честный кубик. Событие A: выпала 6. Событие B: выпало чётное число. Являются ли A и B независимыми?
Независимость событий — P(A∩B) = P(A)·P(B) — фундаментальное понятие, без которого нельзя корректно перемножать вероятности. На собеседовании дают задачи с подвохом, где события кажутся независимыми, но на самом деле связаны. Путаница между независимостью и несовместностью — классическая ошибка кандидатов.
Всего в этом разделе 20 вопросов. Каждый — с правильным ответом и кратким разбором теории. Разбито на 4 части по 5 вопросов.
1Известно, что события A и B независимы, при этом `P(A) = 0.4` и `P(B) = 0.5`. Чему равно `P(A∩B)` — вероятность одновременного наступления?
A0.1
B0.25
C0.45
D0.2
Ответ: Для независимых событий выполняется `P(A∩B) = P(A)·P(B)`.
При независимости событий вероятность совместного наступления равна произведению маргинальных вероятностей: `P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0.4·0.5 = 0.2`. Сумма, среднее или разность вероятностей — это другие операции, и они не дают вероятность пересечения. Если бы события были несовместными, то `P(A∩B) = 0`, а формула произведения не работала бы.
2Монету подбросили один раз. Событие A: выпал орёл. Событие B: выпала решка. Как корректно описать связь между A и B?
AСобытия независимы, потому что исходы равновероятны и не влияют друг на друга в рамках одного эксперимента
BСобытия одновременно несовместимы и независимы, потому что вероятности равны и в сумме дают единицу
CСобытия несовместимы (не могут произойти вместе), но не независимы: знание одного полностью определяет другое
DСобытия ни несовместимы, ни независимы: они просто два возможных исхода без каких-либо отношений между собой
Ответ: Если события не могут произойти одновременно, они несовместимы, и при ненулевых вероятностях не будут независимыми.
Здесь `P(A∩B)=0`, потому что в одном броске не может одновременно быть орёл и решка. Для независимости нужно, чтобы выполнялось `P(A∩B)=P(A)P(B)`, но `P(A)P(B)>0` при `P(A)>0` и `P(B)>0`. Поэтому события несовместимы и заведомо зависимы — знание одного исхода полностью определяет другой.
3Если события A и B независимы и `P(A) = 0.3`, чему равно `P(A | B)` при `P(B) > 0`?
A`P(A | B) = 0.1`
B`P(A | B) = 0.5`
C`P(A | B) = 0.3`
D`P(A | B) = 0.7`
Ответ: При независимости событие B не меняет вероятность A, поэтому `P(A | B) = P(A)`.
Определение независимости при `P(B) > 0` эквивалентно равенству `P(A | B) = P(A)`. Интуитивно это означает, что знание о наступлении B не несёт информации об A. Поэтому `P(A | B) = 0.3`, и значение `P(B)` для ответа не нужно — оно влияет только на совместную вероятность `P(A и B)`.
4Бросают два честных кубика. Событие A: на первом кубике выпало чётное число. Событие B: на втором кубике выпало число больше 4. Чему равно `P(A∩B)`?
A1/3
B1/6
C1/2
D2/3
Ответ: Для независимых бросков разных кубиков применяют `P(A∩B)=P(A)P(B)`.
На первом кубике чётное выпадает с вероятностью `P(A)=3/6=1/2`. На втором кубике число больше 4 — это 5 или 6, значит `P(B)=2/6=1/3`. Броски независимы, поэтому `P(A∩B)=(1/2)·(1/3)=1/6`.
5В каком случае выполняется равенство `P(A ∪ B) = P(A) + P(B)`?
AКогда события A и B независимы между собой, то есть наступление одного не влияет на вероятность наступления другого
BКогда выполняется равенство `P(A) = P(B)`, то есть оба события имеют одинаковые безусловные вероятности наступления
CКогда выполняется равенство `P(A ∪ B) = 1`, то есть хотя бы одно из событий A или B обязательно наступит при испытании
DКогда события A и B несовместны, то есть не могут произойти одновременно и поэтому пересечение `P(A ∩ B) = 0`
Ответ: Равенство `P(A ∪ B) = P(A) + P(B)` выполняется, когда `P(A ∩ B) = 0`, то есть события несовместны.
Общая формула объединения: `P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)`. Если события несовместны, то `P(A ∩ B) = 0`, и вычитаемая часть исчезает, оставляя простую сумму вероятностей. Если же события могут пересекаться, простое сложение завышает вероятность объединения, потому что общая часть учитывается дважды. Независимость и равенство безусловных вероятностей это условие в общем случае не обеспечивают.