Случайные величины: основы: вопросы для собеседования (часть 2)
Что такое случайная величина, дискретная vs непрерывная, PMF, PDF, CDF — базовые понятия, без которых невозможно говорить о распределениях и статистике. На собеседовании спрашивают, чем PDF отличается от PMF, как найти вероятность через CDF и что значит «распределение случайной величины».
Вопросы 6–10 из 20
6Для непрерывной случайной величины X какая связь между `P(a<X<b)` и `P(a<=X<=b)`?
A`P(a<X<b)` всегда меньше, потому что строгие неравенства физически уменьшают площадь под плотностью на концах интервала
B`P(a<X<b)` и `P(a<=X<=b)` равны, потому что для непрерывной X выполнено `P(X=a)=0` и `P(X=b)=0`
C`P(a<=X<=b)` всегда больше, потому что включение точек a и b добавляет к площади под плотностью две точечные вероятности
DБез знания дискретного распределения `PMF` сравнить две вероятности нельзя, поэтому ответ существенно зависит от конкретного распределения
Ответ: Для непрерывных X `P(a<X<b)` и `P(a<=X<=b)` совпадают, так как `P(X=a)=0` и `P(X=b)=0`.
Различие между строгими и нестрогими границами важно для дискретных величин, где `P(X=a)` может быть ненулевой. В непрерывном случае добавление или исключение граничных точек не меняет вероятность интервала: точечная вероятность равна нулю. Это полезная проверка адекватности при переходе к расчёту через `CDF` или площадь под плотностью `PDF`. У непрерывной X функции `PMF` нет — рассуждать через неё некорректно.
Подробный разбор → 7Для дискретной случайной величины X задано распределение вероятностей: `P(X=0)=0.25`, `P(X=1)=0.5`, `P(X=2)=0.25`. Как корректно найти `P(X>=1)`?
A`P(X>=1) = P(X=1)`: пропущено значение 2, которое тоже входит в событие `X>=1`
B`P(X>=1) = P(X=1) + P(X=2)`: сумма вероятностей всех значений, удовлетворяющих условию
C`P(X>=1) = P(X=2) − P(X=0)`: разность вероятностей вместо суммы по событию
D`P(X>=1) = 1 / P(X=0)`: обратная величина выходит за диапазон вероятности
Ответ: Для дискретной величины вероятность события — сумма вероятностей всех подходящих значений.
Событие `X>=1` включает значения 1 и 2, поэтому его вероятность равна сумме `P(X=1)+P(X=2)=0.5+0.25=0.75`. Для дискретных величин вероятность события — это сумма вероятностей всех подходящих значений, в отличие от непрерывного случая, где интегрируют плотность. Эквивалентно можно посчитать через дополнение: `P(X>=1)=1−P(X=0)=1−0.25=0.75`. Разности и обратные величины здесь не дают корректной вероятности.
Подробный разбор → 8Как определить медиану `m` непрерывной случайной величины `X` через функцию распределения `F`?
A`m` такое, что `F(m) = 0.5`: половина массы распределения лежит слева от точки `m`
B`m` такое, что `PDF(m) = 0.5`: значение плотности в точке `m` равно одной второй
C`m` такое, что `P(X = m) = 0.5`: точечная вероятность попадания в `m` равна половине
D`m` совпадает со средним значением `X` для любой непрерывной случайной величины
Ответ: Медиана определяется условием `F(m)=0.5` для функции распределения.
Медиана — это значение, которое делит распределение пополам по накопленной вероятности. Через функцию распределения это означает, что `P(X<=m)=0.5`. Это не означает, что `P(X=m)=0.5`, потому что для непрерывного случая точечная вероятность равна 0. В реальных данных медиана и среднее могут различаться при асимметрии распределения.
Подробный разбор → 9Известна функция распределения `CDF` F(x) непрерывной случайной величины `X`. Как корректно выразить `P(a<X<=b)` через `F`?
A`P(a<X<=b) = F(a) - F(b)`: разность с обратным знаком, при которой результат может оказаться отрицательным
B`P(a<X<=b) = F(b) - F(a)`: разность накопленных вероятностей в верхней и нижней точках интервала
C`P(a<X<=b) = F(a) + F(b)`: сумма накопленных вероятностей по двум точкам интервала в общей формуле
D`P(a<X<=b) = F(a) * F(b)`: произведение значений `CDF` применимо к независимым событиям через формулу
Ответ: `CDF` накапливает вероятность слева, поэтому `P(a<X<=b) = F(b) - F(a)`.
`CDF` определяется как `F(x) = P(X<=x)` — накопленная вероятность слева от порога. Тогда вероятность попасть в интервал между `a` и `b` — это разница накопленных вероятностей в верхней и нижней точках. Для непрерывных величин выбор строгих или нестрогих границ обычно не меняет ответ, потому что `P(X=a) = 0`. Сумма или произведение `F(a)` и `F(b)` смысла не имеет: первая может дать значение больше 1, второе соответствует независимым событиям.
Подробный разбор → 10Известна функция распределения `CDF` F(x) для случайной величины X. Как выразить `P(X > t)` через F?
A`P(X > t) = 1 - F(t)`: правый хвост получается дополнением до единицы от значения функции `CDF` в точке `t`
B`P(X > t) = F(t)`: это `P(X <= t)`, то есть левая часть распределения, а не вероятность правого хвоста по `CDF`
C`P(X > t) = F(1 - t)`: подстановка `1 - t` в функцию `CDF` не имеет смысла для произвольных значений `t` величины `X`
D`P(X > t) = PDF(t)`: это значение плотности `PDF` в точке `t`, а не вероятность правого хвоста распределения `X`
Ответ: Хвостовая вероятность выражается через `CDF` как `P(X > t) = 1 - F(t)`.
По определению `F(t) = P(X <= t)`, то есть это вся вероятность слева от порога. Тогда вероятность справа — это дополнение до единицы: `P(X > t) = 1 - F(t)`. На практике это используют, например, для доли запросов медленнее порога или времени ожидания дольше соглашения об уровне обслуживания. Для дискретной величины формула тоже применима, но нужно помнить, что `P(X = t)` может быть ненулевой. Подменять `CDF` плотностью или подстановкой `1 - t` нельзя.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей