Что корректнее использовать для моделирования времени загрузки страницы как случайной величины X, если время измеряется на непрерывной шкале?
Что такое случайная величина, дискретная vs непрерывная, PMF, PDF, CDF — базовые понятия, без которых невозможно говорить о распределениях и статистике. На собеседовании спрашивают, чем PDF отличается от PMF, как найти вероятность через CDF и что значит «распределение случайной величины».
Всего в этом разделе 20 вопросов. Каждый — с правильным ответом и кратким разбором теории. Разбито на 4 части по 5 вопросов.
1Пусть случайная величина X — число очков, выпавших при броске честного кубика. Какой это тип случайной величины?
AНепрерывная: между гранями кубика возможны промежуточные значения, например `2.5` или `4.7`
BДискретная: принимает значения из конечного набора `1, 2, 3, 4, 5, 6` по одному на грань
CСмешанного типа: грани дают дискретные значения, а вращение кубика добавляет непрерывную составляющую
DТип определяется только после того, как накоплено достаточно бросков и построена эмпирическая гистограмма исходов
Ответ: Случайная величина с конечным набором значений является дискретной и имеет ненулевые точечные вероятности.
X принимает только отдельные значения из набора 1–6, поэтому это дискретная случайная величина и для неё имеет смысл говорить о точечных вероятностях вида `P(X = 6) = 1/6`. Для дискретного случая удобно использовать функцию вероятностей PMF, а функция распределения CDF получается ступенчатой. Непрерывные модели применяют там, где значения меняются плавно — время ожидания, измерения. Честность кубика не отменяет случайности: исход одного броска заранее неизвестен.
2Аналитик хочет посчитать `P(X <= 10)` для случайной величины X. Какая формула определяет функцию `CDF` F(x), которая даёт нужное значение напрямую?
A`F(x) = P(X = x)`: значение функции вероятности в одной точке для дискретной случайной величины
B`F(x) = PDF(x)`: значение плотности в точке непрерывной величины, а не накопленная вероятность
C`F(x) = PMF(x)`: значение функции вероятности в точке для дискретной величины, без накопления слева
D`F(x) = P(X <= x)`: функция накопленной вероятности от минус бесконечности до точки `x`
Ответ: `CDF` — это функция накопленной вероятности: `F(x) = P(X <= x)`.
`CDF` всегда не убывает и лежит между 0 и 1. Она удобна тем, что вероятность интервала можно получить разностью значений `CDF`, например `P(a < X <= b) = F(b) - F(a)`. Для дискретных величин `CDF` имеет скачки, а для непрерывных обычно изменяется плавно. `P(X = x)` и `PMF` дают вероятность одной точки, а `PDF` — это плотность, а не накопленная вероятность.
3В эксперименте с монетой исходы: орёл или решка. Определим случайную величину `X`: `X=1` для орла и `X=0` для решки. Что в общем случае означает случайная величина?
AЭто функция, которая каждому исходу случайного эксперимента сопоставляет числовое значение
BЭто полный список всех возможных исходов случайного эксперимента без числового кодирования
CЭто событие, которое в результате эксперимента либо происходит, либо не происходит
DЭто среднее значение результата эксперимента, посчитанное по всем возможным исходам
Ответ: Случайная величина — это функция от исхода эксперимента, которая принимает числовые значения.
Сначала есть набор исходов (например, орёл или решка), а случайная величина превращает их в числа. Благодаря этому можно задавать вероятности вроде `P(X=1)` и делать вычисления, даже если сами исходы не числовые. Конкретное кодирование (1 и 0) выбирают для удобства, но оно сохраняет смысл вероятностной модели и не меняет распределение.
4Что корректнее использовать для моделирования времени загрузки страницы как случайной величины X, если время измеряется на непрерывной шкале?
AПлотность распределения (`PDF`): для непрерывной величины вероятности задаются на интервалах, а не в точках
BФункция вероятностей (`PMF`): время есть наблюдаемая величина из логов с ненулевым весом значения
CФункция вероятностей (`PMF`): на практике время принимает конечное число различных значений в выборке
DТолько функция распределения (`CDF`): плотность в реальных данных не определена и не оценивается
Ответ: Для непрерывных величин вероятности задаются через плотность (PDF) или функцию распределения (CDF), а не через PMF.
Время может принимать много значений, поэтому точечные вероятности вида P(X=t) в непрерывной модели равны 0. PMF подходит для счётного множества значений (например, число покупок), а для задержек удобно использовать плотность (PDF) или функцию распределения (CDF) и считать вероятности на интервалах, например P(X<=500). Утверждение, что плотности «не существует в реальных данных», смешивает теоретическую модель и эмпирическую оценку.
5Что описывает `PMF` (функция вероятностей) для дискретной случайной величины X?
AПлощадь под графиком функции равна `P(X=a)` для любого конкретного значения a из области определения
BОна задаёт значения `P(X<=x)` накопленным образом для любого x и описывает функцию распределения целиком
CОна задаёт значения `P(X=x)` для каждого возможного значения x дискретной случайной величины X
DОна всегда является возрастающей функцией от x и принимает значения от 0 до 1 во всей области
Ответ: `PMF` задаёт точечные вероятности `P(X=x)` для каждого возможного значения дискретной случайной величины.
`PMF` можно воспринимать как таблицу: каждому возможному x соответствует `P(X=x)`. Вероятность события вроде `P(X>=2)` находится суммированием соответствующих значений `PMF`. Накопленные вероятности `P(X<=x)` описывает уже `CDF`, которая для дискретного случая выглядит как ступенчатая функция и не равна `PMF`. Возрастание тоже относится к `CDF`, а не к `PMF`.