Пусть A — событие «в сессии была покупка». Какой записью обозначают противоположное событие «покупки не было»?
Пространство элементарных исходов, событие, объединение, пересечение, дополнение — язык, на котором формулируются задачи по вероятности. Формула включений-исключений, аксиомы Колмогорова — без этого фундамента сложно решать что-то сложнее подбрасывания монетки. На собеседовании проверяют, владеет ли кандидат этим языком.
Всего в этом разделе 20 вопросов. Каждый — с правильным ответом и кратким разбором теории. Разбито на 4 части по 5 вопросов.
1Пусть `A` — событие «в сессии была покупка». Какой записью обозначают противоположное событие «покупки не было»?
A`A`: исходное событие «покупка была», а не противоположное ему
B`A^c`: дополнение события `A`, исходы, где покупки не было
C`A ∪ A^c`: всё пространство исходов, а не событие «покупки не было»
D`A ∩ A^c`: пустое множество, такое событие не наступает
Ответ: `A^c` описывает все исходы пространства, в которых событие `A` не произошло.
Если `A` — «покупка была», то противоположное событие — «покупки не было», и в терминах множеств это дополнение `A^c` внутри пространства всех исходов. Объединение `A ∪ A^c` покрывает всё пространство исходов и всегда истинно. Пересечение `A ∩ A^c` пусто и никогда не наступает. Поэтому корректная запись — `A^c`.
2При одном броске кубика вы наблюдаете результат 3. Это исход или событие?
AКонкретный исход: один элемент пространства элементарных исходов при одном броске
BСобытие: любой результат броска объединяет несколько разных исходов
CОбъединение событий вида «A или B»: значение 3 входит в несколько событий сразу
DПересечение событий вида «A и B»: значение 3 удовлетворяет нескольким описаниям
Ответ: Один конкретный результат — это исход, а событие обычно объединяет несколько исходов из пространства элементарных исходов.
При броске кубика пространство элементарных исходов содержит 6 значений. Число 3 — один элемент этого множества, то есть исход. Событием могло бы быть, например, «выпало чётное число», которое включает сразу несколько исходов. Объединение или пересечение событий — это уже операции над множествами, а не отдельный результат броска.
3Пусть A — событие «выпало число больше 3» при броске кубика. Какое описание соответствует дополнению `A^c`?
AВыпало 4, 5 или 6, то есть значения строго превышающие три на грани кубика
BВыпало значение больше или равное 3, включая саму тройку как граничный случай
CВыпало значение 3, и только этот единственный исход исключается из основного события
DВыпало 1, 2 или 3, то есть все исходы, где условие «больше 3» не выполнено
Ответ: Дополнение `A^c` — это все исходы из пространства элементарных исходов, которые не попадают в A.
Событие A включает исходы, где условие «больше 3» выполнено: 4, 5, 6. Тогда дополнение `A^c` включает все остальные исходы: 1, 2 и 3. Вариант с 4, 5, 6 — это само A, а не его дополнение. Описание «больше или равно 3» добавляет тройку к A, а не образует его дополнение.
4Пусть `A` — событие «пользователь кликнул», `B` — событие «пользователь купил». Что означает `P(A ∪ B)`?
AДоля наблюдений, в которых произошло только событие `A` без события `B`
BДоля наблюдений, в которых произошло только событие `B` без события `A`
CДоля наблюдений, в которых произошло хотя бы одно из событий — `A`, `B` или оба
DДоля наблюдений, в которых события `A` и `B` произошли одновременно
Ответ: `P(A ∪ B)` — это доля наблюдений, где произошло хотя бы одно из событий `A` или `B`.
Объединение `A ∪ B` включает случаи, где выполнено хотя бы одно из условий. Поэтому `P(A ∪ B)` можно понимать как долю сессий с кликом, покупкой или обоими действиями. Типичная ошибка — трактовать `A ∪ B` как «оба», хотя это соответствует пересечению `A ∩ B`.
AПроизошло событие `A` или событие `B`, причём возможно, что оба сразу
BПроизошли и событие `A`, и событие `B` в одном и том же наблюдении
CНе произошло событие `A`, то есть выполнено противоположное событие `A^c`
DПроизошло ровно одно из событий `A` и `B`, но не оба одновременно
Ответ: `A ∩ B` включает только те исходы, где выполняются оба условия одновременно.
Пересечение `A ∩ B` — более узкое событие, чем каждое из `A` или `B` по отдельности. Например, если `A` — «клик», а `B` — «покупка», то `A ∩ B` — это сессии, где были и клик, и покупка. Частая ошибка — перепутать `A ∩ B` с `A ∪ B`, где достаточно хотя бы одного события. Ещё одна ошибка — считать, что `A ∩ B` означает «ровно одно из двух»: это другое событие, симметрическая разность.