Случайные величины: основы: вопросы для собеседования (часть 3)
Что такое случайная величина, дискретная vs непрерывная, PMF, PDF, CDF — базовые понятия, без которых невозможно говорить о распределениях и статистике. На собеседовании спрашивают, чем PDF отличается от PMF, как найти вероятность через CDF и что значит «распределение случайной величины».
Вопросы 11–15 из 20
11Если для случайной величины `X` известно, что функция распределения `CDF` `F(10) = 0.9`, что это означает?
A`P(X <= 10) = 0.9`: значение `CDF` в точке `x` это вероятность того, что случайная величина не превышает `x`
B`P(X = 10) = 0.9`: точечная вероятность в точке `x = 10` для непрерывной величины с такой интерпретацией `CDF`
C`P(X > 10) = 0.9`: вероятность превышения порога, равная значению функции распределения `F(10)` в той же точке
D`PDF(10) = 0.9`: значение плотности в точке `x = 10`, прочитанное из `CDF` напрямую как ордината графика
Ответ: Значение `CDF` в точке интерпретируется как `P(X <= x)` для соответствующего `x`.
Если `F(10) = 0.9`, то 90% вероятности лежит слева от 10, то есть `X` не превышает 10 с вероятностью 0.9. Это не значит, что `X` равна 10 с вероятностью 0.9: точечная вероятность зависит от типа величины. Для непрерывных `P(X = 10) = 0`, а для дискретных может быть ненулевой скачок `CDF`. Плотность `PDF(10)` это вообще не вероятность, а её скорость изменения.
Подробный разбор → 12Какие условия должны выполняться, чтобы функция была корректной `PMF` для дискретной случайной величины X?
AВсе значения неотрицательны, и сумма `P(X=x)` по всем возможным `x` равна 1
BЗначения могут быть отрицательными, если итоговая сумма по всем `x` всё равно равна 1
CИнтеграл `PDF` по всем значениям `x` должен быть равен 1, как для непрерывного случая
DФункция `CDF` должна быть строго убывающей при росте значения аргумента `x`
Ответ: Корректная `PMF` неотрицательна на всех `x` и суммируется в единицу.
`PMF` задаёт `P(X=x)` для дискретных значений, поэтому каждая вероятность должна быть >= 0. Кроме того, сумма `P(X=x)` по всем возможным `x` должна равняться 1, иначе модель не описывает полный набор исходов. Это базовая проверка корректности при чтении табличных распределений. Для непрерывных моделей аналогичная идея выражается через площадь под `PDF`, но это другой случай.
Подробный разбор → 13В эксперименте с монетой определили случайную величину `Y`: `Y=1`, если выпал орёл, иначе `0`. Почему такая конструкция удобна?
AПотому что делает вероятность `P(Y=1)` равной единице при любом исходе и убирает неопределённость
BПотому что переводит модель монеты в непрерывную и позволяет работать с плотностью вероятности `PDF`
CПотому что превращает исходы в числовую случайную величину и позволяет задавать `PMF`, считать вероятности и средние
DПотому что убирает случайность из результата и делает каждый бросок монеты заранее известным
Ответ: Индикаторная случайная величина переводит исходы в числа и позволяет напрямую задавать `PMF` и считать вероятности.
Когда исходы нечисловые, их неудобно агрегировать и сравнивать, но индикатор делает это возможным. Для `Y` можно явно задать `PMF` и работать с вероятностями вроде `P(Y=1)`. В аналитике такой приём описывает события типа покупка/не покупка и помогает связывать их с частотой и средним. Это не делает процесс непрерывным и не требует `PDF`, и тем более не убирает случайность из результата.
Подробный разбор → 14Почему для непрерывной случайной величины X верно `P(X=a)=0`, даже если значение a кажется вполне возможным?
AПотому что вероятность связана с площадью под плотностью, а одна точка имеет нулевую ширину интервала
BПотому что плотность вероятности непрерывной величины всегда тождественно равна нулю в любой точке
CПотому что функция распределения непрерывной величины не меняется и остаётся постоянной по всей оси
DПотому что величина X на практике никогда не принимает значение, точно равное конкретному числу a
Ответ: Для непрерывных распределений `P(X=a)=0`, потому что вероятность определяется для интервалов, а не для одной точки.
Непрерывная модель описывает вероятности через площадь под функцией плотности. У одной точки нет длины, поэтому площадь над одной точкой равна нулю — отсюда и `P(X=a)=0`. На практике обычно интересуются вероятностями интервалов, например `P(a<X<=b)` для малого диапазона вокруг a. Распространённая ошибка — путать «вероятность точки равна нулю» с «значение невозможно»: значение возможно, но любое отдельное значение получает нулевой вес.
Подробный разбор → 15Какое утверждение про `PDF` непрерывной случайной величины верно?
AЗначение `PDF` всегда обязано быть строго меньше 1, иначе вероятность на любом интервале автоматически окажется больше 1 и нарушит аксиому
BЗначение `PDF` может быть больше 1: ограничение 0..1 относится к вероятности на интервалах, а не к плотности в точке непрерывного распределения
CСумма значений `PDF` по всем точкам x должна быть равна 1, иначе плотность некорректна и вероятностная модель не определяет распределение
DЕсли `PDF` где-то больше 1, то равенство P(X=a)=0 для непрерывной величины перестаёт быть верным и его нужно проверять заново
Ответ: `PDF` может превышать 1, потому что это не вероятность, а плотность, и вероятность получается как площадь.
Вероятность на интервале — это площадь под `PDF`, поэтому важна общая площадь, равная 1, а не значения в отдельных точках. При узком распределении плотность может быть высокой и превышать 1, но площадь на малом интервале остаётся корректной. Типичная ошибка — путать `PDF(x)` с P(X=x), которое в непрерывном случае равно 0.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей