Независимость событий: вопросы для собеседования (часть 4)
Независимость событий — P(A∩B) = P(A)·P(B) — фундаментальное понятие, без которого нельзя корректно перемножать вероятности. На собеседовании дают задачи с подвохом, где события кажутся независимыми, но на самом деле связаны. Путаница между независимостью и несовместностью — классическая ошибка кандидатов.
Вопросы 16–20 из 20
16События A и B несовместны, при этом `P(A)=0.2` и `P(B)=0.3`. Какое утверждение верно?
AОни независимы, потому что их пересечение пустое и `P(A∩B)=0` автоматически даёт независимость
BОни независимы, потому что сумма вероятностей `P(A)+P(B)=0.5` меньше единицы и события не перекрываются
CОни могут быть независимы, если события покрывают всё пространство и выполняется `P(A∪B)=1`
DОни не могут быть независимы: `P(A∩B)=0`, но `P(A)·P(B)>0`, поэтому равенство нарушается
Ответ: Для несовместных событий с положительными вероятностями условие `P(A∩B)=P(A)·P(B)` не выполняется, значит независимость невозможна.
Для несовместных событий всегда `P(A∩B)=0`. Но если `P(A)>0` и `P(B)>0`, то `P(A)·P(B)>0`, и равенство `P(A∩B)=P(A)·P(B)` нарушается. Поэтому такие события обязательно зависимы. Независимость и несовместность — разные понятия: первое про произведение вероятностей, второе про пустое пересечение.
Подробный разбор → 17При каких условиях события A и B могут быть одновременно несовместными и независимыми?
AВсегда, когда `P(A) + P(B) < 1` и события различимы по контексту
BЕсли события «симметричные» и имеют одинаковую структуру
CКогда `P(A) = P(B)` и оба события строго положительны
DТолько если `P(A) = 0` или `P(B) = 0`
Ответ: У несовместных событий `P(A∩B) = 0`, и для независимости должно выполняться `P(A)·P(B) = 0`.
Если события несовместны, то `P(A∩B) = 0`. Для независимости требуется `P(A∩B) = P(A)·P(B)`, значит произведение `P(A)·P(B)` тоже должно быть равно нулю. Это возможно, только если хотя бы одно из событий имеет нулевую вероятность. Поэтому интуиция «несовместные = независимые» в общем случае неверна.
Подробный разбор → 18Две вытяжки из колоды. Событие A: первая карта красная. Событие B: вторая карта красная. В какой процедуре события A и B будут независимыми?
AБез возвращения первой карты в колоду: состав колоды меняется, и `P(B|A)` отличается от `P(B)`
BБез возвращения, но без учёта порядка вытяжек: отказ от порядка не влияет на условные вероятности
CС возвращением первой карты и перемешиванием перед второй вытяжкой: состав колоды восстанавливается
DНи одна процедура не делает события `A` и `B` независимыми друг от друга
Ответ: При возвращении карты и перемешивании состав колоды не меняется, поэтому события независимы и `P(B|A) = P(B)`.
Без возвращения первая вытяжка меняет состав колоды, поэтому вероятность красной второй карты зависит от того, была ли первой красная. При возвращении и перемешивании перед второй вытяжкой каждый раз условия одинаковые, и шанс красной во втором тираже не зависит от результата первого. Это классический пример, где процедура определяет независимость, а не сами обозначения событий.
Подробный разбор → 19Пусть A и B — несовместные события с `P(A)=0.4` и `P(B)=0.3`. Рассмотрим индикаторы `I_A` и `I_B` (равны 1, если событие произошло). Какой знак будет иметь корреляция между `I_A` и `I_B`?
AПоложительный знак, потому что оба события благоприятны и обычно усиливают друг друга при наблюдении исходов
BНулевой знак, потому что несовместность событий формально означает полное отсутствие любой связи между ними
CЗнак нельзя определить без дополнительных данных, потому что несовместность сама по себе ничего о корреляции не говорит
DОтрицательный знак, потому что совместное наступление невозможно: при `P(A∩B)=0` ковариация индикаторов меньше нуля
Ответ: Для индикаторов несовместных событий совместных единиц нет, поэтому при ненулевых вероятностях корреляция отрицательна.
Если события несовместные, то `P(A∩B)=0`, и индикаторы не могут быть равны 1 одновременно. При этом `E[I_A I_B]=P(A∩B)=0`, а `E[I_A]E[I_B]=P(A)P(B)>0`, значит ковариация отрицательная. Отрицательная ковариация при ненулевых дисперсиях даёт отрицательный знак корреляции. Положительный или нулевой знак противоречит этому неравенству.
Подробный разбор → 20Верно ли, что нулевая корреляция между случайными величинами X и Y всегда означает их независимость?
AДа, нулевая корреляция эквивалентна независимости X и Y вне зависимости от их распределения
BДа при условии, что X и Y дискретные: тогда нулевая корреляция автоматически даёт независимость в обе стороны
CДа, поскольку из нулевой корреляции следует `P(A∩B)=P(A)P(B)` для любых событий, связанных с X и Y
DНет: можно построить зависимые X и Y с нулевой линейной связью, например через нелинейную зависимость
Ответ: Независимость сильнее, чем нулевая корреляция, поэтому обратное утверждение в общем случае неверно.
Независимость означает отсутствие любой зависимости, а корреляция измеряет только линейную связь. Можно построить зависимые X и Y с нулевой корреляцией, например когда Y зависит от X нелинейно (Y = X²). Поэтому нулевая корреляция — это не доказательство независимости, хотя для некоторых распределений (например, многомерного нормального) условия совпадают. В общем случае независимость строго сильнее нулевой корреляции.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей