Независимость событий: вопросы для собеседования (часть 4)
Независимость событий — P(A∩B) = P(A)·P(B) — фундаментальное понятие, без которого нельзя корректно перемножать вероятности. На собеседовании дают задачи с подвохом, где события кажутся независимыми, но на самом деле связаны. Путаница между независимостью и несовместностью — классическая ошибка кандидатов.
Вопросы 16–20 из 20
16События A и B `mutually exclusive`, при этом `P(A)=0.2` и `P(B)=0.3`. Какое утверждение верно?
AОни `independent`, потому что `P(A∩B)=0`
BОни `independent`, потому что `P(A)+P(B)=0.5`
CОни могут быть `independent`, если `P(A∪B)=1`
DОни не могут быть `independent`, так как `P(A∩B)=0`, но `P(A)P(B)>0`
Ответ: При `mutually exclusive` и положительных вероятностях условие `P(A∩B)=P(A)P(B)` не выполняется, значит `independence` невозможна.
Для `mutually exclusive` событий всегда `P(A∩B)=0`. Но если `P(A)>0` и `P(B)>0`, то `P(A)P(B)>0`, и равенство `P(A∩B)=P(A)P(B)` нарушается. Поэтому такие события обязательно зависимы.
17При каких условиях события A и B могут быть одновременно `mutually exclusive` и `independent`?
AВсегда, если `P(A)+P(B)<1`
BЕсли события «симметричные»
CЕсли `P(A)=P(B)`
DТолько если `P(A)=0` или `P(B)=0`
Ответ: Для `mutually exclusive` событий `P(A∩B)=0`, и чтобы выполнялось `P(A∩B)=P(A)P(B)`, нужно `P(A)P(B)=0`.
Если A и B `mutually exclusive`, то `P(A∩B)=0`. Для `independence` требуется равенство `P(A∩B)=P(A)P(B)`, значит `P(A)P(B)` тоже должно быть 0. Это возможно только если хотя бы одно из событий имеет нулевую вероятность.
18Две вытяжки из колоды. Событие A: первая карта красная. Событие B: вторая карта красная. В какой процедуре A и B будут `independent`?
AБез возвращения первой карты в колоду
BБез возвращения, но если не учитывать порядок вытяжек
CС возвращением первой карты и перемешиванием перед второй вытяжкой
DНи в одной процедуре A и B не могут быть `independent`
Ответ: При возвращении карты состав колоды не меняется, поэтому выполняется `independence` и `P(B|A)=P(B)`.
Без возвращения первая вытяжка меняет состав колоды, поэтому вероятность красной второй карты зависит от того, была ли первой красная. При возвращении и перемешивании каждый раз условия одинаковые, и второй шанс красной не зависит от результата первой вытяжки. Это классический пример, где процедура определяет `independence`.
19Пусть A и B — события с `P(A)=0.4`, `P(B)=0.3` и они `mutually exclusive`. Рассмотрим индикаторы `I_A` и `I_B` (1, если событие произошло). Какой знак будет иметь `correlation` между `I_A` и `I_B`?
AПоложительный, потому что оба события «хорошие»
BНулевой, потому что `mutually exclusive` означает отсутствие связи
CНельзя определить знак `correlation` без дополнительных данных
DОтрицательный, потому что совместное наступление невозможно и `P(A∩B)=0`
Ответ: Для индикаторов `mutually exclusive` событий совместных единиц нет, поэтому `correlation` обычно отрицательна при ненулевых вероятностях.
Если события `mutually exclusive`, то `P(A∩B)=0`, и индикаторы не могут быть равны 1 одновременно. При этом `E[I_A I_B]=P(A∩B)=0`, а `E[I_A]E[I_B]=P(A)P(B)>0`, значит ковариация отрицательная. Отрицательная ковариация обычно означает и отрицательную `correlation` (если дисперсии ненулевые).
20Верно ли, что нулевая `correlation` между случайными величинами X и Y означает их `independence`?
AДа, нулевая `correlation` всегда означает `independence`
BДа, если X и Y дискретные
CДа, потому что из `correlation=0` следует `P(A∩B)=P(A)P(B)` для любых событий
DНет, нулевая `correlation` не гарантирует `independence` (кроме некоторых частных случаев)
Ответ: `independence` сильнее, чем нулевая `correlation`, поэтому обратное утверждение в общем случае неверно.
`independence` означает отсутствие любой зависимости, а `correlation` измеряет только линейную связь. Можно построить зависимые X и Y с `correlation=0`, например когда Y зависит от X нелинейно. Поэтому нулевая `correlation` — это не доказательство `independence`, хотя для некоторых распределений это может совпадать.
Хотите тренировать интерактивно?
В приложении — таймер, прогресс, стрики и 1700+ вопросов по всем темам.
Тренировать в TelegramДругие темы: Теория вероятностей