Независимость событий: вопросы для собеседования (часть 2)
Независимость событий — P(A∩B) = P(A)·P(B) — фундаментальное понятие, без которого нельзя корректно перемножать вероятности. На собеседовании дают задачи с подвохом, где события кажутся независимыми, но на самом деле связаны. Путаница между независимостью и несовместностью — классическая ошибка кандидатов.
Вопросы 6–10 из 20
6Даны `P(A) = 0.3`, `P(B) = 0.6` и `P(A∩B) = 0.18`. Какой вывод корректен?
AСобытия независимы, потому что выполняется равенство `P(A∩B) = P(A) * P(B)`
BСобытия не могут быть независимы, потому что `P(A∩B)` обязано быть равно нулю
CСобытия не независимы, потому что `P(A∩B)` должно равняться сумме `P(A) + P(B)`
DСобытия несовместны, потому что `P(A∩B)` оказалось меньше, чем `P(A)`
Ответ: Независимость проверяют сравнением `P(A∩B)` и произведения `P(A) * P(B)`.
Считаем произведение: `P(A) * P(B) = 0.3 * 0.6 = 0.18`. Оно совпадает с данным `P(A∩B) = 0.18`, значит условие `P(A∩B) = P(A) * P(B)` выполняется и события независимы. Несовместность означала бы `P(A∩B) = 0`, что здесь не так; равенство сумме маргинальных тоже неверная характеристика.
Подробный разбор → 7Даны `P(A)=0.5`, `P(B)=0.4` и `P(A∪B)=0.7`. Чему равно `P(A∩B)`?
Ответ: Используйте формулу `P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)` и выразите `P(A∩B)`.
Подставляем значения в `P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)`. Получаем `0.7=0.5+0.4-P(A∩B)`. Следовательно, `P(A∩B)=0.5+0.4-0.7=0.2`.
Подробный разбор → 8Из стандартной колоды 52 карт вытягивают одну карту. Событие A: карта — червы. Событие B: карта — король. Что верно про A и B?
AСобытия несовместны: одной попыткой нельзя достать сразу две карты из колоды
BСобытия независимы: `P(A∩B) = P(A) · P(B)` выполняется как раз для короля червей
CСобытия зависимы: масть влияет на достоинство карты и одно событие меняет другое
DДанных недостаточно: в условии не указан полный состав мастей и достоинств колоды
Ответ: A и B независимы, потому что `P(A∩B)=P(A)·P(B)` для одной карты из стандартной колоды.
В колоде `P(A)=13/52`, `P(B)=4/52`, а `P(A∩B)=1/52` (король червей). Произведение `P(A)·P(B)=(13/52)·(4/52)=1/52` совпадает с `P(A∩B)`, то есть формальное определение независимости выполнено. Значит, A и B независимы, хотя интуитивно это часто кажется неожиданным.
Подробный разбор → 9Бросают один честный кубик. Событие A: выпала `6`. Событие B: выпало чётное число. Являются ли A и B независимыми?
AЗависимы: `P(A∩B) = 1/6`, а `P(A) * P(B) = (1/6) * (1/2) = 1/12`
BНезависимы: шесть входит в чётные, поэтому событие `A` целиком внутри события `B`
CНезависимы: на одном кубике выполнено равенство `P(A∩B) = P(A) + P(B)`
DОпределить нельзя: для проверки независимости требуется бросок двух кубиков
Ответ: События независимы тогда и только тогда, когда `P(A∩B) = P(A)·P(B)`.
Здесь `P(A) = 1/6`, `P(B) = 3/6 = 1/2`. Поскольку `6` — чётное, `P(A∩B) = P(A) = 1/6`. Но `P(A)·P(B) = (1/6)·(1/2) = 1/12`, что не равно `1/6`, значит независимости нет. Интуитивно: если уже известно, что выпало чётное число, шанс «шестёрки» меняется по сравнению с безусловной вероятностью, а у независимых событий он бы не менялся.
Подробный разбор → 10Даны вероятности `P(A) = 0.5`, `P(B) = 0.5` и `P(A∩B) = 0.25`. Какой вывод о событиях A и B корректен?
AСобытия независимы, потому что выполняется равенство `P(A∩B) = P(A)·P(B)`
BСобытия несовместны, потому что вероятности `P(A)` и `P(B)` равны между собой
CСобытия зависимы, потому что `P(A∩B)` не равно сумме `P(A) + P(B)`
DБез значения `P(A∪B)` сделать корректный вывод о связи событий нельзя
Ответ: Независимость проверяется равенством `P(A∩B) = P(A)·P(B)`, а не суммой вероятностей.
Считаем произведение: `P(A)·P(B) = 0.5·0.5 = 0.25`, оно совпадает с `P(A∩B) = 0.25`, значит условие независимости выполняется. Несовместность потребовала бы `P(A∩B) = 0`, чего здесь нет — события могут происходить одновременно. Проверка через сумму `P(A) + P(B)` относится к формуле для объединения, а не к независимости. Знание `P(A∪B)` тоже не нужно: в данном случае его легко вычислить как `0.5 + 0.5 − 0.25 = 0.75`, но это не меняет вывод.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей