Независимость событий: вопросы для собеседования (часть 3)
Независимость событий — P(A∩B) = P(A)·P(B) — фундаментальное понятие, без которого нельзя корректно перемножать вероятности. На собеседовании дают задачи с подвохом, где события кажутся независимыми, но на самом деле связаны. Путаница между независимостью и несовместностью — классическая ошибка кандидатов.
Вопросы 11–15 из 20
11События A и B независимы, `P(A)=0.2`, `P(B)=0.3`. Чему равна вероятность объединения `P(A∪B)`?
Ответ: Для независимых событий `P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)`.
Общая формула объединения: `P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)`. Для независимых событий `P(A∩B)=P(A)P(B)=0.2·0.3=0.06`. Подставляя, получаем `P(A∪B)=0.2+0.3−0.06=0.44`. Ошибки 0.50 и 0.56 возникают, если забыть вычесть пересечение или перепутать знак.
Подробный разбор → 12В продуктовой аналитике: A — пользователь увидел баннер, B — пользователь кликнул. Известно, что `P(B|A) = 0.10`, а `P(B) = 0.06`. Какой вывод корректен?
AСобытия независимы, потому что условная вероятность `P(B|A)` нам известна и задана явно в условии задачи
BСобытия несовместны, потому что наступление события B как-то связано с наступлением события A через условную вероятность
CСобытия не являются независимыми, так как `P(B|A) = 0.10` отличается от безусловной вероятности `P(B) = 0.06`
DСделать вывод нельзя без знания совместной вероятности `P(A∩B)` или хотя бы предельных частот в сегментах
Ответ: Для независимости необходимо равенство `P(B|A) = P(B)`; если оно нарушено, события зависимы.
Если наступление A меняет вероятность B, события зависимы по определению. Здесь `P(B|A) = 0.10` отличается от безусловной `P(B) = 0.06`, значит факт показа баннера повышает шанс клика. Это типичная проверка независимости через условную вероятность: для независимости должно выполняться равенство `P(B|A) = P(B)`. Несовместные события — это другое: они не могут произойти одновременно, и здесь данных о такой ситуации нет.
Подробный разбор → 13Событие A — пользователь премиум, событие B — пользователь кликнул по баннеру. Известно, что `P(B)=0.08`, `P(B|A)=0.12` и `P(A)=0.25`. Что можно сказать про связь A и B?
AA и B независимы, потому что вероятность A меньше 0.5, а малая вероятность одного события всегда означает независимость от другого
BA и B зависимы, потому что условная вероятность `P(B|A)=0.12` отличается от безусловной `P(B)=0.08`, то есть знание A меняет вероятность B
CA и B несовместны, потому что премиум-пользователи никогда не кликают по баннеру, а кликающие никогда не оформляют премиум
DНельзя сделать вывод без знания вероятности пересечения `P(A∩B)`, потому что без неё невозможно сравнить условную и безусловную вероятности
Ответ: Если `P(B|A)` отличается от `P(B)`, то независимость событий нарушена.
При независимости знание A не меняет вероятность B, то есть `P(B|A)=P(B)`. Здесь `P(B|A)=0.12` больше `P(B)=0.08`, значит премиум-пользователь связан с более высокой вероятностью клика. Это зависимость и интуитивно положительная связь между A и B. Несовместность означала бы `P(B|A)=0`, что не соответствует данным; вероятность пересечения тут не нужна — её можно посчитать как `P(A)*P(B|A)`.
Подробный разбор → 14Из колоды 52 карт вытягивают одну карту. Событие A: выпала пика. Событие B: выпала чёрная карта. Являются ли A и B независимыми?
AДа: `P(B) = 1/2`, и половина мастей колоды относится к чёрным, что делает события совместимыми по определению
BДа: `P(A|B) = P(A)` по определению чёрных карт в стандартной колоде из 52 карт
CБез знания вероятности объединения событий `P(A∪B)` ответ на вопрос дать невозможно
DНет: A это подмножество B, поэтому `P(B|A) = 1`, а значит `P(A∩B) ≠ P(A)·P(B)`
Ответ: Если A — подмножество B, события обычно зависимы: `P(B|A)=1`, и равенство `P(A∩B)=P(A)·P(B)` не выполняется.
Если выпала пика, то карта точно чёрная, значит `P(B|A)=1`. При этом `P(B)=1/2`, поэтому `P(B|A)≠P(B)`, и независимость нарушена. Эквивалентно: `P(A∩B)=P(A)=1/4`, а `P(A)·P(B)=(1/4)·(1/2)=1/8` — равенство не выполняется. Вероятность объединения тут не нужна, и вариант про «по определению» неверен.
Подробный разбор → 15Из стандартной колоды 52 карт вытягивают 2 карты подряд без возвращения. Событие `A`: первая карта — туз. Событие `B`: вторая карта — туз. Чему равно `P(A∩B)`?
A`P(A∩B) = (4/52)·(4/52) = 1/169`: вычисление по схеме с возвращением карты обратно в колоду
B`P(A∩B) = (4/52)·(3/51) = 1/221`: цепочка `P(A)·P(B|A)` для зависимых событий без возвращения
C`P(A∩B) = 4/52 = 1/13`: значение вероятности одного лишь события `A` вне пересечения с `B`
D`P(A∩B) = (3/52)·(4/51) = 1/221`: правильное число при перепутанном порядке множителей в цепочке
Ответ: Без возвращения используют цепочку `P(A∩B) = P(A)·P(B|A)`, потому что события зависимы.
Вероятность первого туза `P(A) = 4/52`. Если первый туз уже вышел, в колоде остаётся 3 туза из 51 карты, то есть `P(B|A) = 3/51`. Поэтому `P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = (4/52)·(3/51) = 1/221`. Формула `(4/52)·(4/52)` справедлива только при возвращении карты, когда события независимы. Запись `(3/52)·(4/51)` имеет правильное значение, но логика «3 туза до первого вытягивания» неверна.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей