Независимость событий: вопросы для собеседования (часть 3)
Независимость событий — P(A∩B) = P(A)·P(B) — фундаментальное понятие, без которого нельзя корректно перемножать вероятности. На собеседовании дают задачи с подвохом, где события кажутся независимыми, но на самом деле связаны. Путаница между независимостью и несовместностью — классическая ошибка кандидатов.
Вопросы 11–15 из 20
11События A и B `independent`, `P(A)=0.2`, `P(B)=0.3`. Чему равно `P(A∪B)`?
Ответ: Для `independent` событий `P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)`.
Общая формула объединения: `P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)`. При `independence` имеем `P(A∩B)=P(A)P(B)=0.2·0.3=0.06`. Тогда `P(A∪B)=0.2+0.3-0.06=0.44`.
12В продуктовой аналитике: A — пользователь увидел баннер, B — пользователь кликнул. Известно, что `P(B|A)=0.10`, а `P(B)=0.06`. Какой вывод корректен?
AA и B `independent`, потому что `P(B|A)` дано явно
BA и B `mutually exclusive`, потому что событие B связано с A
CA и B не `independent`, так как `P(B|A)≠P(B)`
DНельзя сделать вывод без знания `P(A∩B)`
Ответ: Для `independence` необходимо равенство `P(B|A)=P(B)`.
Если наступление A меняет вероятность B, события зависимы. Здесь `P(B|A)=0.10` отличается от `P(B)=0.06`, значит A влияет на шанс B. Это типичная проверка `independence` через условную вероятность `P(B|A)`.
13A — пользователь премиум. B — пользователь кликнул по баннеру. Известно `P(B)=0.08`, `P(B|A)=0.12` и `P(A)=0.25`. Что можно сказать про связь A и B?
AA и B `independent`, потому что `P(A)` меньше 0.5
BA и B не `independent`, потому что `P(B|A)≠P(B)`
CA и B `mutually exclusive`, потому что премиум не кликают
DНельзя сделать вывод без знания `P(A∩B)`
Ответ: Если `P(B|A)` отличается от `P(B)`, то `independence` нарушена.
При `independence` знание A не меняет вероятность B, то есть `P(B|A)=P(B)`. Здесь `P(B|A)=0.12` больше `P(B)=0.08`, значит премиум-пользователь ассоциирован с более высокой вероятностью клика. Это зависимость и интуитивно положительная связь между A и B.
14Из колоды 52 карт вытягивают одну карту. Событие A: выпала пика. Событие B: выпала чёрная карта. Являются ли A и B `independent`?
AДа, потому что `P(B)=1/2` и половина мастей — чёрные
BДа, потому что `P(A|B)=P(A)` по определению чёрных карт
CНет, потому что A ⊂ B и `P(B|A)=1`, поэтому `P(A∩B)≠P(A)P(B)`
DНельзя сказать, потому что нужно знать `P(A∪B)`
Ответ: Если A является подмножеством B, то обычно нет `independence`, потому что `P(B|A)` становится 1.
Если выпала пика, то карта точно чёрная, значит `P(B|A)=1`. При этом `P(B)=1/2`, поэтому `P(B|A)≠P(B)`, и `independence` нарушена. Эквивалентно: `P(A∩B)=P(A)=1/4`, а `P(A)P(B)=(1/4)·(1/2)=1/8`.
15Из стандартной колоды 52 карт вытягивают 2 карты подряд без возвращения. Событие A: первая карта — туз. Событие B: вторая карта — туз. Чему равно `P(A∩B)`?
A`P(A∩B)=(4/52)·(4/52)=1/169`
B`P(A∩B)=(4/52)·(3/51)=1/221`
C`P(A∩B)=4/52=1/13`
D`P(A∩B)=(3/52)·(4/51)=1/221`
Ответ: Без возвращения используют цепочку `P(A∩B)=P(A)P(B|A)`, потому что `independence` не выполняется.
Вероятность первого туза `P(A)=4/52`. Если первый туз уже вышел, то остается 3 туза из 51 карты, то есть `P(B|A)=3/51`. Поэтому `P(A∩B)=P(A)P(B|A)=(4/52)·(3/51)=1/221`.
Хотите тренировать интерактивно?
В приложении — таймер, прогресс, стрики и 1700+ вопросов по всем темам.
Тренировать в TelegramДругие темы: Теория вероятностей