Комбинаторика: вопросы для собеседования (часть 4)
Перестановки, сочетания, размещения, правило умножения — комбинаторика нужна для подсчёта числа исходов в задачах на вероятность. На собеседовании дают задачи вроде «сколько способов рассадить гостей» или «какова вероятность совпадения дней рождения». Без комбинаторики невозможно решать классические задачи на вероятность.
Вопросы 16–20 из 20
16Сколькими способами можно рассадить 5 разных людей за круглым столом, если повороты стола считаются одним и тем же исходом?
A`5!`
B`C(5,2)`
C`4!`
D`C(5,4)`
Ответ: Круговая рассадка — это `permutation` с учётом вращений, поэтому для 5 людей получается `4!`.
Зафиксируем одного человека как «якорь», чтобы убрать эквивалентные повороты. Тогда остальные 4 человека можно рассадить вокруг него любым образом. Это даёт `4!`, что эквивалентно формуле `5!/5`.
17Как правильно записать вероятность вытянуть 2 туза при выборе 2 карт из колоды 52 без возвращения (`without replacement`), используя подход «благоприятные / все»?
A`C(4,2)/52^2`
B`(4/52)*(4/52)`
C`C(4,2)/C(52,2)`
D`C(52,2)/C(4,2)`
Ответ: Вероятность считается как «благоприятные/все»: `C(4,2)` из `C(52,2)` при `without replacement`.
Благоприятные исходы — выбрать 2 карты из 4 тузов: `C(4,2)`. Все возможные исходы — выбрать любые 2 карты из 52: `C(52,2)`. Деление `C(4,2)/C(52,2)` прямо реализует подход «благоприятные / все».
18Как правильно записать вероятность вытянуть хотя бы один туз при выборе 2 карт из колоды 52 без возвращения (`without replacement`)?
A`C(4,1)/C(52,2)`
B`1 - (48/52)^2`
C`C(48,2)/C(52,2)`
D`1 - C(48,2)/C(52,2)`
Ответ: Проще считать через дополнение: `1 - C(48,2)/C(52,2)` при `without replacement`.
Событие «хотя бы один туз» удобно считать как 1 минус событие «ни одного туза». Нетуза в колоде 48, поэтому вероятность «оба не тузы» равна `C(48,2)/C(52,2)`. Тогда искомая вероятность равна `1 - C(48,2)/C(52,2)`.
19Политика паролей: либо пароль из 6 цифр (0–9), либо пароль из 6 букв (A–Z). Внутри выбранного типа символы могут повторяться (`with replacement`). Какое выражение корректно по `правило сложения`?
A`(10+26)^6`
B`10^6*26^6`
C`C(36,6)`
D`10^6 + 26^6`
Ответ: Так как варианты «только цифры» и «только буквы» взаимоисключающие, применяем `правило сложения`: `10^6 + 26^6`.
Для цифр есть `10^6` вариантов, потому что 6 позиций и `with replacement`. Для букв есть `26^6` вариантов по той же логике. Поскольку пароль выбирается либо из одного типа, либо из другого, числа исходов нужно складывать, а не перемножать.
20Вы генерируете идентификатор: либо формат 3 буквы и 2 цифры, либо формат 5 цифр. Внутри формата повторения разрешены (`with replacement`). Какое выражение правильно использует `правило умножения` внутри формата и `правило сложения` между форматами?
A`(26+10)^5`
B`26^3 + 10^2 + 10^5`
C`26^3*10^2 + 10^5`
D`26^3*10^2*10^5`
Ответ: Разные форматы складываются по `правило сложения`, а позиции внутри формата перемножаются по `правило умножения`, что даёт `26^3*10^2 + 10^5`.
В формате «3 буквы и 2 цифры» вариантов `26^3*10^2` при `with replacement`. В формате «5 цифр» вариантов `10^5`. Так как выбирается либо первый формат, либо второй (взаимоисключающе), применяем `правило сложения` и складываем числа исходов.
Хотите тренировать интерактивно?
В приложении — таймер, прогресс, стрики и 1700+ вопросов по всем темам.
Тренировать в TelegramДругие темы: Теория вероятностей