Комбинаторика: вопросы для собеседования (часть 2)
Перестановки, сочетания, размещения, правило умножения — комбинаторика нужна для подсчёта числа исходов в задачах на вероятность. На собеседовании дают задачи вроде «сколько способов рассадить гостей» или «какова вероятность совпадения дней рождения». Без комбинаторики невозможно решать классические задачи на вероятность.
Вопросы 6–10 из 20
6Из 12 кандидатов выбирают 3 докладчика на конференцию: первый, второй и третий (порядок важен), без повторов (`without replacement`). Сколько способов выбора соответствует `arrangement` (упорядоченное размещение) (то же, что и `размещения`)?
A`12*11*10`
B`C(12,3)`
C`12^3`
D`12!`
Ответ: Разные роли означают важный порядок, поэтому это `arrangement` (упорядоченное размещение) и считается как `12*11*10`.
На роль первого докладчика 12 вариантов, затем остаётся 11, затем 10. По `правилу умножения` получаем `12*11*10`. Если бы роли не различались, это была бы `combination` и использовалось бы `C(12,3)`.
7В лотерее нужно выбрать 6 разных чисел из 49, порядок не важен (то есть `without replacement`). Какой формулой считать число возможных билетов?
A`49^6`
B`C(49,6)`
C`49*48*47*46*45*44`
D`6!`
Ответ: Так как порядок не важен и повторов нет, это `combination`, поэтому число билетов равно `C(49,6)`.
Билет определяется набором 6 чисел, а не последовательностью, значит (1,2,3,4,5,6) и (6,5,4,3,2,1) — один исход. При выборе без повторов используем `C(n,k)`. Здесь это `C(49,6)`.
8Код — это 4 разные цифры (повторов нет, то есть `without replacement`), порядок важен. Если код равновероятно выбирается из всех таких кодов, как записать вероятность угадать его с первой попытки?
A`1/10^4`
B`1/C(10,4)`
C`1/(10*9*8*7)`
D`10*9*8*7`
Ответ: Вероятность угадать один конкретный код равна `1/`(число всех кодов), то есть `1/(10*9*8*7)`.
Всего возможных кодов без повторов и с учётом порядка — `10*9*8*7`. Благоприятный исход один: вы назвали именно нужный код. Поэтому вероятность равна «благоприятные/все» = `1/(10*9*8*7)`.
9Сколько различных 5-карточных покерных рук можно получить из стандартной колоды 52 карт, если порядок карт в руке не важен и вытягиваем без возвращения (`without replacement`)?
A`52^5`
B`52*51*50*49*48`
C`5!`
D`C(52,5)`
Ответ: Когда порядок не важен и выбор без повторов (`without replacement`), число исходов — это `combination` (то же, что и `сочетания`) и равно `C(52,5)`.
Рука — это набор из 5 карт, а не упорядоченная последовательность, поэтому перестановки одной и той же пятёрки не считаются разными. Это именно `combination` (то же, что и `сочетания`). Формула `52*51*50*49*48` соответствовала бы упорядоченному выбору (`arrangement`), но для руки это не то.
10Сколько двухбуквенных кодов можно составить из 26 букв, если буквы могут повторяться (`with replacement`) и порядок важен?
A`26*25`
B`26^2`
C`C(26,2)`
D`2!`
Ответ: При `with replacement` и важном порядке используем `правило умножения`, поэтому количество равно `26^2`.
На первую позицию 26 вариантов, и на вторую позицию тоже 26, потому что повторение разрешено. По `правилу умножения` получаем `26*26`, то есть `26^2`. Если бы повторения были запрещены (`without replacement`), было бы `26*25`.
Хотите тренировать интерактивно?
В приложении — таймер, прогресс, стрики и 1700+ вопросов по всем темам.
Тренировать в TelegramДругие темы: Теория вероятностей