Комбинаторика: вопросы для собеседования (часть 2)

На роль первого докладчика 12 вариантов, затем остаётся 11, затем 10. По правилу умножения получаем `12*11*10` — это и есть число размещений из 12 по 3. Если бы роли не различались, использовалось бы число сочетаний `C(12,3)`. Выражение `12^3` соответствует выбору с возвратом, а `12!` — перестановкам всех 12 элементов, что не подходит к задаче.

Билет определяется набором 6 чисел, а не последовательностью: `(1, 2, 3, 4, 5, 6)` и `(6, 5, 4, 3, 2, 1)` — это один и тот же билет. При выборе без повторов и без учёта порядка используем сочетания `C(n, k)`. Здесь это `C(49, 6)`. Произведение `49 * 48 * ... * 44` — число размещений с учётом порядка, оно ровно в `6!` раз больше нужного ответа.

Всего возможных кодов без повторов и с учётом порядка — `10·9·8·7`. Благоприятный исход один: вы назвали именно нужный код. Поэтому вероятность равна «благоприятные / все» = `1/(10·9·8·7)`. Запись `1/10^4` подошла бы для кодов с повторами, а `1/C(10, 4)` — для случая без учёта порядка.

Рука — это набор из 5 карт, а не упорядоченная последовательность, поэтому перестановки одной и той же пятёрки не считаются разными руками. Это именно сочетания: `C(52,5) = 2 598 960`. Произведение `52*51*50*49*48` соответствует упорядоченному выбору, его надо разделить на `5!`, чтобы убрать повторный счёт. А `52^5` подразумевает выбор с возвращением, что для колоды без джокеров неверно.

На первую позицию 26 вариантов, и на вторую позицию тоже 26, потому что повторение разрешено. По правилу умножения получаем `26*26`, то есть `26^2 = 676`. Если бы повторения были запрещены, было бы `26*25`. `C(26,2)` отвечает на вопрос «сколько неупорядоченных пар», а `2!` — это просто число перестановок двух элементов и к задаче не относится.