Непрерывные распределения: вопросы для собеседования (часть 4)
Нормальное, экспоненциальное, равномерное распределения — основа статистического моделирования. На собеседовании просят нарисовать плотность, посчитать вероятность попадания в интервал, объяснить правило трёх сигм. Знание свойств основных распределений необходимо для понимания статистических тестов.
Вопросы 16–20 из 20
16Сервис моделирует время до следующего входящего запроса как `Exponential(λ)`. Вы уже не видели запросов 1 минуту. Какое утверждение про `conditional probability` увидеть следующий запрос позже, чем через ещё 30 секунд соответствует свойству `memoryless` (свойство «без памяти»)?
AВероятность прождать ещё 30 секунд уменьшается, потому что каждая прошедшая секунда ожидания приближает момент следующего запроса.
BОна равна `probability` ждать больше 30 секунд с начала ожидания, потому что `Exponential(λ)` является `memoryless` (свойство «без памяти»).
CОна равна значению функции плотности `f(30)` экспоненциального распределения, вычисленному в точке 30 секунд.
DОна равна `mean` распределения минус уже прошедшее время, то есть `1/λ − 60` секунд.
Ответ: `Exponential(λ)` обладает свойством `memoryless` (свойство «без памяти»), поэтому условное распределение остатка не зависит от прошедшего времени.
Если модель `Exponential(λ)` применима, то знание, что вы уже ждали 1 минуту, не меняет `probability` ждать ещё 30 секунд. Это свойство удобно в задачах про время до события, но важно проверять применимость предположения о постоянном `rate`. Если `rate` меняется со временем, `memoryless` (свойство «без памяти») обычно нарушается, и модель нужно пересмотреть.
Подробный разбор → 17Время ожидания ответа оператора моделируется как `Exponential(λ)`. Клиент уже ждёт 3 минуты. Что верно про условную вероятность ждать ещё больше 2 минут?
AИз-за свойства `memoryless` она равна безусловной вероятности `P(T>2)` ждать больше 2 минут с самого начала ожидания
BОна обязательно меньше, чем вероятность `P(T>2)` ждать больше 2 минут с самого начала, потому что часть ожидания уже прошла
CОна равна значению плотности `f(2)` в точке 2 минуты и не зависит от того, сколько времени клиент уже прождал до текущего момента
DОна зависит только от прошедших 3 минут и не зависит от параметра `λ`, поэтому всегда близка к нулю при больших значениях `λ`
Ответ: `Exponential(λ)` обладает свойством `memoryless` (без памяти), поэтому условная вероятность зависит только от будущего интервала.
Свойство `memoryless` (без памяти) означает, что уже прошедшее время ожидания не меняет распределение оставшегося времени. Поэтому условная вероятность ждать ещё больше 2 минут совпадает с вероятностью ждать больше 2 минут с самого начала. Это не означает, что среднее ожидание маленькое или большое само по себе: масштаб задаётся `λ` через среднее `1/λ`. Варианты про плотность и независимость от `λ` путают определения вероятности и плотности.
Подробный разбор → 18Какая пара утверждений про `cdf` и `density` наиболее корректна?
A`cdf(x)` равна вероятности `P(X <= x)`, а `density(x)` отражает локальную интенсивность распределения и интегрируется до единицы
B`density(x)` равна вероятности конкретного значения `x`, а `cdf(x)` остаётся постоянной функцией без зависимости от точки
C`cdf(x)` отражает дисперсию случайной величины, а `density(x)` соответствует её математическому ожиданию вблизи среднего
D`cdf(x)` и `density(x)` обозначают одно понятие: разные названия одной функции в учебниках теории вероятностей
Ответ: `cdf` даёт накопленную вероятность, а `density` — локальную «интенсивность» и сама по себе не равна вероятности.
`cdf` удобно интерпретировать как долю вероятностной массы слева от порога, поэтому через неё легко получать квантили. `density` показывает, где масса распределения сконцентрирована, но её нужно интегрировать, чтобы получить вероятность на интервале. Из-за этого сравнение `density` в точках не заменяет сравнение вероятностей для диапазонов: значение плотности может быть больше 1 для непрерывных величин и не является вероятностью.
Подробный разбор → 19На графике плотности распределения видно, что около значения t плотность почти постоянна на маленьком интервале. Как корректно приблизить вероятность попасть в этот маленький интервал?
AВзять значение плотности в точке и сразу назвать его искомой вероятностью попадания в маленький интервал.
BУмножить плотность около точки на ширину интервала, получив площадь под кривой и тем самым приближение вероятности.
CРазделить значение плотности в точке на дисперсию величины и считать получившееся отношение искомой вероятностью.
DВзять квантиль распределения и вычесть среднее, а полученную разницу использовать как вероятность попадания.
Ответ: Для малого интервала вероятность можно оценить как площадь, то есть значение плотности умножить на ширину интервала.
Интуиция такая же, как у площади прямоугольника: высота — это плотность, ширина — длина интервала, произведение даёт приближение площади. Это работает, когда плотность мало меняется внутри интервала. При больших интервалах нужно учитывать изменение плотности и считать точнее через функцию распределения или численное интегрирование. Важно помнить: значение плотности в точке не равно вероятности попасть ровно в эту точку.
Подробный разбор → 20Два времени выполнения запроса моделируются как `Normal(μ,σ)` с одинаковым `μ`, но в системе B `σ` больше. В какой системе больше вероятность увидеть очень большие отклонения от среднего значения `μ`?
AВ системе A, потому что среднее значение `μ` одинаковое и крупные отклонения определяются именно совпадением центров распределений
BВ системе B, потому что больше `σ`, значит больше дисперсия и выше вероятность увидеть значения далеко от среднего значения `μ`
CОдинаково в обеих системах, потому что среднее значение `μ` совпадает и распределения симметричны относительно одного и того же центра
DСравнивать корректно нельзя, потому что плотность нормального распределения формально не определена в точках за пределами наблюдаемого диапазона
Ответ: При фиксированном `μ` больший `σ` означает большую дисперсию и выше вероятность больших отклонений.
У `Normal(μ,σ)` увеличение `σ` делает распределение шире: больше массы уходит в хвосты. Это означает более высокую вероятность увидеть значения далеко от среднего значения `μ`, даже если центр распределения один и тот же. В продуктовых метриках это часто проявляется как больше редких, но очень больших задержек, что напрямую влияет на верхние квантили. Утверждения про равенство при одинаковом среднем или про неопределённость плотности игнорируют, что именно `σ` управляет шириной распределения.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей