Непрерывные распределения: вопросы для собеседования (часть 2)
Нормальное, экспоненциальное, равномерное распределения — основа статистического моделирования. На собеседовании просят нарисовать плотность, посчитать вероятность попадания в интервал, объяснить правило трёх сигм. Знание свойств основных распределений необходимо для понимания статистических тестов.
Вопросы 6–10 из 20
6Что верно для равномерного распределения `Uniform(a, b)`?
AПлотность растёт по мере приближения к `b`, поэтому квантиль всегда ближе к `b`, а среднее смещено в сторону правой границы интервала `[a, b]`
BДисперсия не зависит от `b`, потому что все значения равновероятны, а среднее всегда совпадает с серединой интервала независимо от длины интервала `[a, b]`
CВероятность ровно в точке `a` больше нуля, потому что это граница интервала, а плотность на границах ведёт себя иначе, чем во внутренних точках интервала
DПлотность постоянна на интервале, среднее находится посередине между `a` и `b`, а квантиль меняется линейно по уровню при равномерном распределении
Ответ: У равномерного `Uniform(a, b)` плотность постоянна, поэтому функция распределения и квантиль меняются линейно на интервале.
Равномерная модель означает отсутствие предпочтительных значений внутри диапазона, поэтому плотность одинакова для всех точек интервала. Из-за этого функция распределения растёт равномерно, и квантиль легко интерпретируется как пропорциональная позиция внутри интервала. При этом, как и у любой непрерывной модели, вероятность ровно в точке равна нулю — поэтому варианты с «ростом плотности к `b`» или «вероятностью в точке `a` больше нуля» неверны.
Подробный разбор → 7Вы моделируете время до следующего отказа сервиса. Риск отказа в каждый момент примерно постоянный, и прошлое время без отказов не меняет будущее (свойство «без памяти»). Какую модель выбрать?
A`Uniform(a, b)`: равномерное распределение на отрезке, где все моменты внутри интервала равновероятны
B`Normal(μ, σ)`: нормальное распределение, симметричное относительно среднего и описывающее ошибки измерений
CСмесь `Uniform(a, b)` и `Normal(μ, σ)`: комбинация двух разных распределений с весовыми коэффициентами компонентов
D`Exponential(λ)`: экспоненциальное распределение с постоянной интенсивностью и свойством отсутствия памяти
Ответ: Постоянная интенсивность и свойство «без памяти» естественно ведут к модели `Exponential(λ)`.
Экспоненциальное распределение `Exponential(λ)` используют, когда событие может произойти в любой момент с примерно постоянной интенсивностью, а прошлое не влияет на будущее. Параметр `λ` задаёт частоту событий, а среднее время ожидания равно `1/λ`. Равномерное распределение ограничено отрезком и не подходит для моделирования времени до редких событий. Нормальное симметрично и допускает отрицательные значения, что бессмысленно для времени. Если по данным видно, что риск растёт или падает со временем, предпосылка постоянной интенсивности нарушается, и модель стоит пересматривать.
Подробный разбор → 8Вам нужно быстро смоделировать момент времени, когда пользователь случайно открывает приложение в пределах фиксированного окна 10 минут, и нет данных о пиках внутри окна. Какое распределение выглядит разумным первым приближением?
A`Normal(μ, σ)`: модель симметричных хвостов вокруг среднего, требующая обоснования пика внутри окна
B`Exponential(λ)` для времени до события с плотностью, убывающей за пределы конечного окна наблюдения
C`Uniform(a, b)`: равномерная плотность на отрезке как стартовая модель при отсутствии данных о пиках
D`Poisson(λ)` для подсчёта числа событий за интервал времени, а не самого момента открытия
Ответ: Если внутри короткого интервала нет причин предпочитать какие-то моменты, равномерное распределение — удобная стартовая модель.
Равномерная модель означает постоянную плотность по времени внутри окна и отсутствие выделенных участков. Это хорошее допущение, когда данных мало и вы хотите избежать лишних гипотез о форме распределения. Когда появятся наблюдения, можно проверять, не смещается ли квантиль или не появляется ли форма ближе к `Normal(μ, σ)`. `Exponential(λ)` и `Poisson(λ)` отвечают на другие вопросы: время до события и число событий за интервал.
Подробный разбор → 9Если `X` имеет распределение `Normal(μ,σ)`, чему равна вероятность того, что `X` ровно равен своему медианному значению (50-й квантиль)?
AОна равна 0.5, потому что медиана делит вероятностную массу распределения ровно пополам.
BОна равна значению плотности `f(x)` нормального распределения в точке медианы.
CОна зависит от дисперсии распределения и при больших значениях обычно строго больше нуля.
DОна равна 0, потому что для непрерывной модели вероятность попасть в одну точку равна нулю.
Ответ: Для непрерывных распределений вероятность попасть в одну точку равна нулю, даже если эта точка является квантилем.
Медианный квантиль говорит про разделение вероятностной массы слева и справа, но не делает точечную вероятность ненулевой. В непрерывных моделях ненулевая вероятность появляется только на интервале значений. Поэтому корректно говорить о вероятности быть меньше порога или попасть в диапазон, а не о вероятности ровно одного значения.
Подробный разбор → 10Для непрерывной модели с плотностью как получить вероятность того, что значение лежит между `a` и `b`?
AСравнить плотность в точках `a` и `b` и взять большее значение как искомую вероятность попадания в интервал
BВзять плотность в точке `a` и считать её вероятностью того, что X попадёт в интервал между `a` и `b`
CСложить значения плотности в точках `a` и `b` и считать сумму вероятностью попадания в интервал
DВычислить площадь под плотностью на интервале от `a` до `b` или эквивалентно взять разность значений `CDF`
Ответ: Вероятность на интервале — это площадь под плотностью или разность `CDF`, а не значение плотности в точке.
В непрерывных распределениях вероятность всегда относится к диапазону значений, а не к одному значению — для любой точки `P(X=a)=0`. Поэтому правильный способ получить вероятность для интервала — вычислить площадь под плотностью на этом интервале. Практически это часто делают через `CDF`, потому что разность `CDF(b) - CDF(a)` сразу даёт вероятность попадания в диапазон. Сравнение или сложение плотностей в точках не имеет вероятностного смысла.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей