Дискретные распределения: вопросы для собеседования (часть 4)
Бернулли, биномиальное, пуассоновское, геометрическое распределения — модели для подсчёта событий и успехов. На собеседовании спрашивают, когда применять каждое из них: сколько покупок в час (Пуассон), какова вероятность трёх успехов из десяти попыток (биномиальное). Конкретные примеры из бизнеса ценятся особенно.
Вопросы 16–20 из 20
16Какое утверждение наиболее точно передаёт интуицию `Geometric(p)` для числа попыток до первого успеха?
AВ `Geometric(p)` случайная величина это число успехов в фиксированном числе попыток `n`, по аналогии с биномиальным счётом
BВ `Geometric(p)` моделируют число событий за интервал времени с параметром интенсивности `λ`, как пуассоновская модель
CВ `Geometric(p)` шанс успеха растёт с каждой новой попыткой: предыдущие неудачи накапливаются в пользу ближайшего успеха
DПосле любого числа неудач шанс успеха в следующей попытке равен `p`: прошлые попытки не меняют шанс ближайшего успеха
Ответ: У `Geometric(p)` есть свойство отсутствия памяти: после неудачи шанс успеха в следующей попытке всё ещё равен `p`.
Это значит, что количество прошлых неудачных попыток не меняет шанс успеха на следующей, если `p` постоянен. Поэтому `Geometric(p)` хорошо описывает повторяющиеся попытки одинакового качества, например повторный запрос к API. Если же `p` меняется по мере попыток, то простая `Geometric(p)` перестаёт быть хорошей аппроксимацией. Альтернативные формулировки путают её с биномиальным счётом или пуассоновской моделью событий.
Подробный разбор → 17Для одного бинарного испытания вы используете `Bernoulli(p)`. Какое выражение соответствует дисперсии такого исхода?
A`Var(X) = p * (1 - p)`
B`Var(X) = p^2 + 1`
C`Var(X) = sqrt(p)`
D`Var(X) = (1 - p)^2`
Ответ: Для `Bernoulli(p)` дисперсия равна `p * (1 - p)`.
Дисперсия максимальна около `p = 0.5` и уменьшается, когда `p` близко к 0 или 1: если успех почти никогда или почти всегда, неопределённости меньше. Выражение `p` — это математическое ожидание, `n * p` — ожидание для `Binomial(n, p)`, а `λ` относится к `Poisson(λ)`.
Подробный разбор → 18Для потока ошибок за минуту вы используете модель `Poisson(λ)`. Какое утверждение про среднее и дисперсию числа ошибок верно?
AСреднее равно `λ` и дисперсия равна `λ`, моменты совпадают
BСреднее равно `p`, дисперсия равна `p * (1 - p)`
CСреднее равно `n * p`, дисперсия равна `n * p * (1 - p)`
DСреднее равно нулю, а дисперсия растёт линейно с интервалом `t`
Ответ: В `Poisson(λ)` и среднее, и дисперсия равны `λ`.
В пуассоновской модели и среднее, и дисперсия равны параметру `λ`: разброс счётчика растёт вместе с уровнем потока. Если на данных дисперсия существенно больше среднего, это сигнал переразброса — например, неоднородной интенсивности или кластеризации событий. Тогда стоит подумать о другом интервале наблюдения или иной модели, например отрицательно-биномиальной. Формулы вида `p*(1-p)` и `n*p*(1-p)` относятся к Бернулли и биному, а не к Пуассону.
Подробный разбор → 19Вы считаете число регистраций за каждые 10 минут, при этом число посетителей в эти 10 минут заранее не фиксировано. Какое распределение лучше отражает задачу: сколько событий пришло за интервал при допущении постоянной интенсивности `λ`?
A`Poisson(λ)`: число событий за фиксированный интервал при постоянной интенсивности `λ`
B`Binomial(n, p)`: число успехов в фиксированном числе `n` испытаний с вероятностью `p`
C`Geometric(p)`: номер испытания, на котором впервые наступает успех с вероятностью `p`
D`Bernoulli(p)`: индикатор одного испытания со значениями `1` или `0` с вероятностью `p`
Ответ: Когда моделируют число событий за фиксированный интервал при интенсивности `λ`, используют `Poisson(λ)`.
В этой постановке интервал времени фиксирован, а число событий случайно — типичный сценарий для распределения Пуассона `Poisson(λ)`, где `λ` — среднее число событий за интервал. Биномиальное `Binomial(n, p)` подошло бы, если бы фиксировалось число попыток `n`, а не время. Геометрическое описывает номер первой удачной попытки, бернуллиевское — исход одного испытания. Важно согласовать, что фиксировано: интервал или количество попыток.
Подробный разбор → 20Когда часто используют распределение `Poisson(λ)` как приближение к `Binomial(n,p)` для числа успехов?
AПри малом `n` и `p` близком к `1`: успехов почти столько же, сколько попыток, распределение становится почти вырожденным
BПри малом `n` и большом `p`: много успехов на малом числе попыток, среднее `n*p` сравнимо с `n`
CПри большом `n`, малом `p` и умеренном произведении `λ = n*p`: много редких испытаний с устойчивым средним числом успехов
DПри вероятности успеха `p`, меняющейся между испытаниями: основное условие `Binomial(n,p)` уже нарушено
Ответ: При большом `n` и малом `p`, когда `λ = n*p` умеренное, `Poisson(λ)` хорошо аппроксимирует `Binomial(n,p)`.
Интуитивно, много редких успехов на большом числе попыток дают счётчик, похожий на поток событий за интервал. В такой ситуации работать с `Poisson(λ)` бывает удобнее, особенно если `n` трудно зафиксировать, а среднее `λ` стабильно для интервала. Важно помнить, что это аппроксимация, и при больших `p` или малых `n` она даёт заметную ошибку. Если же вероятность успеха меняется между испытаниями, нарушены условия самого биномиального распределения.
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей