Математическое ожидание и дисперсия: вопросы для собеседования (часть 3)
E(X), Var(X), линейность математического ожидания, свойства дисперсии — ключевые характеристики случайных величин. На собеседовании просят посчитать ожидание для конкретной задачи или доказать, что Var(aX + b) = a²Var(X). Эти свойства используются везде — от расчёта размера выборки до оценки рисков.
Вопросы 11–15 из 20
11Пусть случайная величина `X` равна 1, если при подбрасывании монеты выпал орёл, и 0 иначе. Как лучше всего интерпретировать `E[X]`?
AДолгосрочная доля орлов в очень длинной серии бросков
BГарантированное значение X в каждом броске
CМаксимально возможное значение X
DКоличество бросков, которое нужно сделать
Ответ: `E[X]` — это долгосрочное среднее значение величины при большом числе повторений.
Если `X` — индикатор орла, то `X` принимает 1 с вероятностью 0.5 и 0 с вероятностью 0.5. Поэтому `E[X] = 0.5`, и в длинной серии доля орлов будет стремиться к 0.5. Это среднее по многим повторениям, а не обещание результата в одном броске.
12Если `Var(X) = 4`, чему равно `Var(X+5)`?
Ответ: Добавление константы не меняет `Var(X)`.
Сдвиг `X` на 5 меняет `E[X]`, но не меняет разброс вокруг среднего. Поэтому `Var(X+5) = Var(X) = 4`. Это часто используют, когда добавляют фиксированную надбавку к результату.
13Пусть `X` — размер скидки, а `Y` — итоговая цена в чеке. Чем больше скидка, тем меньше цена. Какой знак у `Cov(X,Y)` наиболее ожидаем?
AПоложительный
BОтрицательный
CРовно 0 всегда
DНевозможно определить знак, не зная `Var(X)`
Ответ: Если X обычно растёт, когда Y падает, то `Cov(X,Y)` чаще всего отрицательна.
`Cov(X,Y)` интуитивно показывает, движутся ли величины вместе. В ситуации скидка растёт, а цена падает, наблюдается противоположное движение, поэтому ожидается отрицательный знак. Точное значение зависит от данных, но знак часто можно предсказать по направлению связи.
14Две лотереи имеют одинаковое `E[X] = 100`, но у первой `Var(X) = 25`, а у второй `Var(X) = 400`. Какая лотерея более рискованная по разбросу выигрыша?
AВторая, потому что `Var(X)` больше
BПервая, потому что меньше `Var(X)`
CОбе одинаково рискованные, раз одинаков `E[X]`
DНельзя сравнить риск без `E[X]`
Ответ: При одинаковом `E[X]` больший `Var(X)` означает больший разброс и выше неопределённость.
У второй лотереи `Var(X)` значительно больше, значит результаты сильнее колеблются вокруг `E[X]`. Это обычно трактуют как более высокий риск: чаще будут как очень низкие, так и очень высокие исходы относительно среднего. `E[X]` говорит про средний выигрыш, а `Var(X)` — про неопределённость этого выигрыша.
15Пусть `X` = 1, если пользователь кликнул, и 0 иначе; `Y` = 1, если купил, и 0 иначе. Известно, что покупка возможна только после клика, так что `X` и `Y` зависимы. Если `E[X] = 0.3` и `E[Y] = 0.1`, чему равно `E[X+Y]`?
A0.2
B0.3
C0.4
DНельзя, потому что X и Y зависимы
Ответ: По `E[X+Y]=E[X]+E[Y]` ожидание суммы равно сумме ожиданий даже при зависимости.
Линейность ожидания не требует независимости, поэтому `E[X+Y] = 0.3 + 0.1 = 0.4`. Зависимость здесь означает, что Y=1 обычно идёт вместе с X=1, но это влияет на `Var(X+Y)`, а не на ожидание. Интерпретация: в среднем сумма двух индикаторов на пользователя равна 0.4.
Хотите тренировать интерактивно?
В приложении — таймер, прогресс, стрики и 1700+ вопросов по всем темам.
Тренировать в TelegramДругие темы: Теория вероятностей