Математическое ожидание и дисперсия: вопросы для собеседования (часть 2)
E(X), Var(X), линейность математического ожидания, свойства дисперсии — ключевые характеристики случайных величин. На собеседовании просят посчитать ожидание для конкретной задачи или доказать, что Var(aX + b) = a²Var(X). Эти свойства используются везде — от расчёта размера выборки до оценки рисков.
Вопросы 6–10 из 20
6Если `Std(X) = 2`, какое описание наиболее близко к смыслу этого числа?
AЭто вероятность того, что X больше `E[X]`
BЭто то же самое, что `Var(X)`
CЭто разница между максимумом и минимумом X
DЭто типичный масштаб отклонения X от `E[X]` порядка 2 в тех же единицах
Ответ: `Std(X)` описывает типичный масштаб отклонения значений от `E[X]`.
`Std(X)` — это корень из `Var(X)`, поэтому он в тех же единицах, что и X. Значение 2 означает, что отклонения от `E[X]` часто имеют порядок нескольких единиц, а не, например, десятков. Это не вероятность и не жёсткая граница, а мера разброса.
7Событие происходит с вероятностью 0.3. Пусть `I` = 1, если событие произошло, и 0 иначе. Чему равно `E[I]`?
Ответ: Для индикатора `E[I]` равно вероятности события.
Индикатор принимает 1 с вероятностью 0.3 и 0 с вероятностью 0.7. Поэтому `E[I] = 1*0.3 + 0*0.7 = 0.3`. Этот приём помогает считать ожидания для счётчиков действий как сумму вероятностей.
8Какое утверждение верно про связь `Var(X)` и `Std(X)` и их единицы измерения?
A`Var(X)` и `Std(X)` всегда измеряются в тех же единицах, что и X
B`Std(X)` измеряется в квадрате единиц, а `Var(X)` — в исходных единицах
C`Var(X)` всегда находится между 0 и 1
D`Var(X)` измеряется в квадрате единиц X, а `Std(X)` — в исходных единицах
Ответ: `Var(X)` имеет квадратичные единицы, а `Std(X)` возвращает масштаб разброса в тех же единицах, что и X.
По определению `Std(X) = sqrt(Var(X))`. Если X измеряется в рублях, то `Var(X)` измеряется в рублях^2, а `Std(X)` — в рублях. Поэтому `Std(X)` обычно проще интерпретировать как типичный размер отклонения от `E[X]`.
9`H` — число орлов в 10 независимых бросках честной монеты. Чему равно `E[H]`?
A10
B0.5
C5
DНельзя найти без `Var(H)`
Ответ: По линейности ожидания (`linearity of expectation`) `E[H]` равен сумме ожиданий индикаторов каждого броска.
Представьте `H` как сумму 10 индикаторов: каждый равен 1 при орле и 0 иначе. У каждого индикатора `E[I] = 0.5`. Тогда `E[H] = 10 * 0.5 = 5`. Для этого шага независимость не требуется, она важнее для `Var(H)`.
10`X` — число на честном кубике, а `Y` определено как `Y = 7 - X`. Чему равно `E[X+Y]`?
A3.5
BЗависит от того, зависимы ли X и Y
C7
D0
Ответ: `E[X+Y]=E[X]+E[Y]` работает даже при зависимости, а если сумма всегда константа, то `E[X+Y]` равна этой константе.
Здесь `Y = 7 - X`, поэтому `X+Y = 7` для любого исхода. Значит `E[X+Y] = 7`. Зависимость между `X` и `Y` не мешает линейности ожидания, но была бы важна, если бы вы считали `Var(X+Y)`.
Хотите тренировать интерактивно?
В приложении — таймер, прогресс, стрики и 1700+ вопросов по всем темам.
Тренировать в TelegramДругие темы: Теория вероятностей