Множества и события: вопросы для собеседования (часть 4)
Пространство элементарных исходов, событие, объединение, пересечение, дополнение — язык, на котором формулируются задачи по вероятности. Формула включений-исключений, аксиомы Колмогорова — без этого фундамента сложно решать что-то сложнее подбрасывания монетки. На собеседовании проверяют, владеет ли кандидат этим языком.
Вопросы 16–20 из 20
16Вы тянете одну карту из колоды. Какая формулировка описывает событие, объединяющее несколько исходов, а не один исход?
AВытянут туз пик: одна конкретная карта из всей колоды
BВытянута карта червовой масти: любая из тринадцати карт червовой масти
CВытянута семёрка треф: одна конкретная карта из всей колоды
DВытянут король бубен: одна конкретная карта из всей колоды
Ответ: Событие обычно объединяет несколько исходов, а конкретная карта — это один исход.
Конкретная карта (например, туз пик) — это один точечный исход из пространства исходов. А «карта червовой масти» включает множество возможных карт, то есть множество исходов. Поэтому это именно событие, а не одиночный исход.
Подробный разбор → 17Пусть A — событие «выпало чётное», B — событие «выпало кратное 3» при броске кубика. Какая запись соответствует событию «не произошло ни A, ни B»?
A`A ∪ B`: исходы, в которых произошло хотя бы одно из двух событий `A` или `B`
B`A ∩ B`: исходы, в которых произошли одновременно и событие `A`, и событие `B`
C`(A ∪ B)^c`: дополнение объединения, исходы без `A` и без `B` одновременно
D`A^c ∪ B^c`: объединение дополнений, исходы, где хотя бы одно событие не произошло
Ответ: Фраза «ни A, ни B» — это дополнение к объединению, то есть (A ∪ B)^c.
Объединение A ∪ B собирает исходы, где произошло хотя бы одно из событий. «Ни A, ни B» означает, что мы берём всё остальное в пространстве элементарных исходов — это и есть (A ∪ B)^c. По закону де Моргана это эквивалентно A^c ∩ B^c, но не A^c ∪ B^c, который описывает «хотя бы одно событие не произошло».
Подробный разбор → 18Пусть `A` — событие «пользователь вошёл», `B` — событие «пользователь оформил заказ». Какая запись соответствует событию «не произошло одновременно `A` и `B`»?
A`A ∩ B`: исходы, в которых оба события произошли одновременно в одном наблюдении
B`A ∪ B`: исходы, в которых произошло хотя бы одно из событий `A` или `B`
C`(A ∩ B)^c`: дополнение пересечения, исключающее только случай одновременного `A` и `B`
D`(A ∪ B)^c`: исходы, в которых не произошло ни одно из событий `A` и `B`
Ответ: `(A ∩ B)^c` означает «не оба вместе» и исключает только пересечение событий.
Событие «оба сразу» — это `A ∩ B`, его отрицание «не оба вместе» записывается как `(A ∩ B)^c`. Туда попадают случаи: только `A`, только `B` и ни одного. Не путайте с `(A ∪ B)^c`, которое означает «ни `A`, ни `B`», и с `A ∪ B`, которое означает «хотя бы одно». Формулировке «не одновременно» соответствует именно `(A ∩ B)^c`.
Подробный разбор → 19При броске двух кубиков один исход записывают как упорядоченную пару (первый, второй). Почему (2, 5) и (5, 2) считаются разными исходами в пространстве элементарных исходов?
AЭти исходы отличаются только записью: на самом деле это один элементарный исход, который можно записать в любом порядке
BЭти исходы отличаются по сумме: 2+5 и 5+2 дают разные значения, поэтому считаются разными элементарными исходами
CПространство элементарных исходов для двух кубиков задаётся множеством сумм, поэтому пары с одинаковой суммой считаются одним исходом
DВ пространстве элементарных исходов для двух кубиков базовый исход задаётся упорядоченной парой, где порядок «первый/второй» входит в исход
Ответ: В пространстве элементарных исходов для двух кубиков базовый исход — упорядоченная пара, а условие про сумму задаёт уже событие.
Два кубика дают два независимых результата, поэтому (2, 5) означает «на первом 2, на втором 5». Перестановка меняет конкретное наблюдение, поэтому (5, 2) — другой исход. Событие вроде «сумма равна 7» включает оба этих исхода. Пространство элементарных исходов состоит из 36 упорядоченных пар, а сумма — это уже производная характеристика события.
Подробный разбор → 20Два броска монеты. Пусть `A` — событие «орёл в первом броске», `B` — событие «орёл во втором броске». Как записать событие «выпал ровно один орёл»?
A`A ∩ B`: пересечение событий двух бросков монеты
B`A^c ∩ B^c`: пересечение их дополнений из бросков
C`(A ∩ B^c) ∪ (A^c ∩ B)`: пара исключающих случаев
D`A ∪ B`: объединение событий двух бросков монеты
Ответ: «Ровно один» — это объединение двух случаев: `A` без `B` и `B` без `A`.
«Ровно один орёл» означает: орёл в первом и не орёл во втором, или наоборот. Эти случаи записываются как `A ∩ B^c` и `A^c ∩ B`, а их объединение даёт `(A ∩ B^c) ∪ (A^c ∩ B)`. Пересечение `A ∩ B` — это «орёл в обоих», то есть два орла. Объединение `A ∪ B` — это «хотя бы один», то есть один или два. Дополнение `A^c ∩ B^c` означает «нет орлов вовсе».
Подробный разбор → Другие темы: Теория вероятностей