Случайные величины и выборочные распределения: вопросы для собеседования (часть 4)
Выборочное распределение среднего, стандартная ошибка, t-распределение — концепции, которые связывают теорию вероятностей с практическим статистическим выводом. На собеседовании спрашивают, чем стандартная ошибка отличается от стандартного отклонения и как размер выборки влияет на точность оценки.
Вопросы 16–20 из 20
16Вы взяли 500 случайных выборок из одной популяции и для каждой посчитали выборочную дисперсию. Что представляет собой гистограмма этих 500 значений?
AВыборочное распределение для выборочной дисперсии: оценка колеблется от выборки к выборке с собственным распределением
BРаспределение исходных наблюдений в генеральной совокупности, восстановленное из 500 повторных выборок без потерь
CРаспределение параметра `σ²` как случайной величины: байесовская апостериорная плотность неизвестной дисперсии
DТочная функция плотности исходной метрики: гистограмма выборочных дисперсий совпадает с распределением данных
Ответ: Гистограмма значений статистики по многим выборкам — это её выборочное распределение.
Если из одной популяции брать много независимых выборок и для каждой считать одну и ту же статистику, гистограмма этих значений — выборочное распределение этой статистики. Здесь это распределение выборочной дисперсии: оно показывает, насколько `s²` колеблется при повторных выборках при фиксированном `n`. Это не распределение исходных данных и не апостериорная плотность параметра — в фреквентистской рамке параметр `σ²` фиксирован, случайна именно оценка. Гистограмма дисперсий не равна распределению самой метрики.
Подробный разбор → 17Вы хотите уменьшить стандартную ошибку оценки `x̄` в 3 раза. Во сколько раз нужно увеличить размер выборки `n`, если ориентироваться на `SE ~ 1/√n`?
AВ 3 раза
BВ 6 раз
CВ 12 раз
DВ 9 раз
Ответ: Если `SE ~ 1/√n`, то чтобы уменьшить `SE` в k раз, нужно увеличить `n` примерно в `k^2` раз.
Уменьшение `SE` в 3 раза означает, что `√n` должно вырасти в 3 раза. Тогда `n` увеличивается в `3^2 = 9` раз. Это полезно для планирования экспериментов и объясняет, почему 'дожимать' точность становится всё дороже. Ошибка — ожидать линейной зависимости между `n` и точностью.
Подробный разбор → 18Вы считаете среднее по наблюдениям, которые сильно зависимы во времени (например, дневные метрики с автокорреляцией). Что наиболее корректно сказать про интуицию `SE ~ 1/√n` и применение `CLT`?
AСильная зависимость уменьшает эффективный размер выборки, поэтому `SE` падает медленнее и нужна поправка на корреляции
BЗависимость не влияет на `SE`: достаточно увеличить `n`, и стандартная ошибка будет падать так же быстро, как при независимости
C`CLT` означает, что зависимость между наблюдениями исчезает сама собой при достаточно большом размере выборки `n`
DПри зависимости наблюдений `SE` обязательно становится равным нулю, поэтому доверительный интервал сжимается в точку
Ответ: При зависимости эффективный `n` меньше, поэтому стандартные формулы для `SE` и интуиция `CLT` могут требовать поправок.
Если наблюдения коррелируют, то новая точка приносит меньше новой информации, чем в независимом случае. Тогда реальная неопределённость среднего может быть больше, чем подсказывает наивная формула `SE = σ/√n`. `CLT` в простом виде предполагает независимость (или близкие к этому условия), поэтому при временных рядах нужны специальные методы или аккуратные допущения. Типичная ошибка — считать тысячи коррелированных точек как «тысячи независимых наблюдений».
Подробный разбор → 19В A/B-тесте конверсия в платящих оценивается как доля успехов `p_hat`. При большом `n` что чаще всего верно про распределение `p_hat` от выборки к выборке?
A`p_hat` сохраняет то же распределение, что и отдельные наблюдения вида ноль или единица, и при росте `n` форма не меняется.
BПо центральной предельной теореме `p_hat` приближённо нормальна, а её стандартная ошибка равна корню из `p(1-p)/n`.
CРаспределение `p_hat` становится равномерным на отрезке от нуля до единицы при увеличении объёма выборки `n`.
DОценка `p_hat` перестаёт быть случайной величиной при больших `n`, потому что разброс между выборками исчезает.
Ответ: Для доли успехов `p_hat` при большом `n` обычно работает нормальная аппроксимация по центральной предельной теореме.
Хотя отдельные наблюдения дискретны (ноль или единица), среднее по ним `p_hat` при большом `n` ведёт себя почти как нормальная величина. Ширина выборочного распределения задаётся стандартной ошибкой `SE ≈ √(p(1-p)/n)`, поэтому точность растёт как `1/√n`. Частая ошибка — применять нормальную аппроксимацию при очень малых `n` или при экстремально малой/большой конверсии, когда аппроксимация может быть грубой.
Подробный разбор → 20У вас есть только одна историческая выборка, но нужно прикинуть распределение выборочного среднего без повторного сбора данных. Какой подход наиболее уместен?
AПоменять местами значения в выборке один раз и считать получившуюся перестановку новым распределением среднего без какого-либо повторного семплирования
BПросто взять стандартную ошибку среднего равной нулю на том основании, что данные уже собраны и других значений у нас всё равно физически нет
CИспользовать центральную предельную теорему и всегда считать распределение выборочного среднего строго нормальным независимо от размера выборки и формы данных
DПрименить бутстрэп: многократно ресемплировать наблюдения с возвращением, пересчитывать выборочное среднее и приближать им искомое распределение
Ответ: Бутстрэп эмпирически приближает распределение статистики, имитируя повторные выборки из имеющихся данных.
Когда повторно собрать данные нельзя, бутстрэп даёт практический способ оценить разброс статистики: многократно строится псевдовыборка с возвращением, и для каждой пересчитывается среднее. Распределение этих повторных средних приближает выборочное распределение и помогает оценить стандартную ошибку и доверительный интервал. Это особенно полезно, когда статистика нелинейная или когда предпосылки нормальности сомнительны. Частая ошибка — забывать, что бутстрэп наследует смещения и структуру исходной выборки и не лечит плохо собранные данные.
Подробный разбор →