В формулировке MLE что считается фиксированным, а что подбирается при максимизации функции правдоподобия?

Вероятность P(X=x | θ) — это функция от данных при фиксированном θ, а правдоподобие L(θ|x) — та же запись, но как функция от θ при фиксированных x. Это и позволяет «подбирать» параметр, максимизируя правдоподобие. Частая ошибка — путать L(θ|x) с P(θ|x), что уже относится к байесовскому подходу.